Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 11300 / 23720
↖ ↑ ↗
← S 62.471724°
W 55.854492°		 ← 564.62 m → S 62.471724°
W 55.843506°		 →
↑
564.53 m
↓
↑
564.53 m
↓
S 62.476801°
W 55.854492°		 ← 564.53 m →
318 723 m²		 S 62.476801°
W 55.843506°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11300 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23720 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.344863891601562 y=0.723892211914062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.344863891601562 × 215)
    floor (0.344863891601562 × 32768)
    floor (11300.5)     		tx = 11300
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.723892211914062 × 215)
    floor (0.723892211914062 × 32768)
    floor (23720.5)     		ty = 23720
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11300 / 23720 ti = "15/11300/23720"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11300/23720.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11300 ÷ 215
    11300 ÷ 32768     		x = 0.3448486328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23720 ÷ 215
    23720 ÷ 32768     		y = 0.723876953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3448486328125 × 2 - 1) × π
    -0.310302734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.97484479
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.723876953125 × 2 - 1) × π
    -0.44775390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.40666038245093
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.97484479} λ = -0.97484479}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.40666038245093))-π/2
    2×atan(0.244959991333765)-π/2
    2×0.240229529297358-π/2
    0.480459058594716-1.57079632675     		φ = -1.09033727
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.97484479} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.854492°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09033727 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.471724°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11300 KachelY 23720 -0.97484479 -1.09033727 -55.854492 -62.471724
    Oben rechts KachelX + 1 11301 KachelY 23720 -0.97465304 -1.09033727 -55.843506 -62.471724
    Unten links KachelX 11300 KachelY + 1 23721 -0.97484479 -1.09042588 -55.854492 -62.476801
    Unten rechts KachelX + 1 11301 KachelY + 1 23721 -0.97465304 -1.09042588 -55.843506 -62.476801
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09033727--1.09042588) × R
    8.86099999999335e-05 × 6371000     		dl = 564.534309999576m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09033727--1.09042588) × R
    8.86099999999335e-05 × 6371000     		dr = 564.534309999576m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.97484479--0.97465304) × cos(-1.09033727) × R
    0.000191750000000046 × 0.462186307917435 × 6371000     		do = 564.62493456466m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.97484479--0.97465304) × cos(-1.09042588) × R
    0.000191750000000046 × 0.462107728275032 × 6371000     		du = 564.528938589249m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09033727)-sin(-1.09042588))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.462186307917435-0.462107728275032)×R²
    abs(-0.97465304--0.97484479)×7.85796424033203e-05×R²
    0.000191750000000046×7.85796424033203e-05×6371000²
    0.000191750000000046×7.85796424033203e-05×40589641000000     		ar = 318723.051540678m²