Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 1130 / 458
↖ ↑ ↗
← N 82.972659°
W130.341797°		 ← 597.83 m → N 82.972659°
W130.297852°		 →
↑
598.05 m
↓
↑
598.05 m
↓
N 82.967281°
W130.341797°		 ← 598.28 m →
357 665 m²		 N 82.967281°
W130.297852°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1130 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 458 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.13800048828125 y=0.05596923828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.13800048828125 × 213)
    floor (0.13800048828125 × 8192)
    floor (1130.5)     		tx = 1130
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.05596923828125 × 213)
    floor (0.05596923828125 × 8192)
    floor (458.5)     		ty = 458
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 1130 / 458 ti = "13/1130/458"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/1130/458.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1130 ÷ 213
    1130 ÷ 8192     		x = 0.137939453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 458 ÷ 213
    458 ÷ 8192     		y = 0.055908203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.137939453125 × 2 - 1) × π
    -0.72412109375 × 3.1415926535     		Λ = -2.27489351
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.055908203125 × 2 - 1) × π
    0.88818359375 × 3.1415926535     		Φ = 2.79031105308423
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.27489351} λ = -2.27489351}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.79031105308423))-π/2
    2×atan(16.2860848509209)-π/2
    2×1.50947120755055-π/2
    3.01894241510109-1.57079632675     		φ = 1.44814609
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.27489351} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -130.341797°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.44814609 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.972659°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1130 KachelY 458 -2.27489351 1.44814609 -130.341797 82.972659
    Oben rechts KachelX + 1 1131 KachelY 458 -2.27412652 1.44814609 -130.297852 82.972659
    Unten links KachelX 1130 KachelY + 1 459 -2.27489351 1.44805222 -130.341797 82.967281
    Unten rechts KachelX + 1 1131 KachelY + 1 459 -2.27412652 1.44805222 -130.297852 82.967281
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.44814609-1.44805222) × R
    9.38700000001624e-05 × 6371000     		dl = 598.045770001035m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.44814609-1.44805222) × R
    9.38700000001624e-05 × 6371000     		dr = 598.045770001035m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.27489351--2.27412652) × cos(1.44814609) × R
    0.000766990000000245 × 0.122342961771461 × 6371000     		do = 597.828061775162m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.27489351--2.27412652) × cos(1.44805222) × R
    0.000766990000000245 × 0.12243612606997 × 6371000     		du = 598.283308494693m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.44814609)-sin(1.44805222))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.122342961771461-0.12243612606997)×R²
    abs(-2.27412652--2.27489351)×9.31642985086134e-05×R²
    0.000766990000000245×9.31642985086134e-05×6371000²
    0.000766990000000245×9.31642985086134e-05×40589641000000     		ar = 357664.672981425m²