Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 1130 / 3289
↖ ↑ ↗
← S 73.048237°
W 80.683594°		 ← 2 849.48 m → S 73.048237°
W 80.595703°		 →
↑
2 847.39 m
↓
↑
2 847.39 m
↓
S 73.073844°
W 80.683594°		 ← 2 845.30 m →
8 107 622 m²		 S 73.073844°
W 80.595703°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1130 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3289 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.2760009765625 y=0.8031005859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.2760009765625 × 212)
    floor (0.2760009765625 × 4096)
    floor (1130.5)     		tx = 1130
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.8031005859375 × 212)
    floor (0.8031005859375 × 4096)
    floor (3289.5)     		ty = 3289
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1130 / 3289 ti = "12/1130/3289"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1130/3289.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1130 ÷ 212
    1130 ÷ 4096     		x = 0.27587890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3289 ÷ 212
    3289 ÷ 4096     		y = 0.802978515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.27587890625 × 2 - 1) × π
    -0.4482421875 × 3.1415926535     		Λ = -1.40819436
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.802978515625 × 2 - 1) × π
    -0.60595703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.90367015771167
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.40819436} λ = -1.40819436}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.90367015771167))-π/2
    2×atan(0.149020684919085)-π/2
    2×0.147932044925229-π/2
    0.295864089850458-1.57079632675     		φ = -1.27493224
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.40819436} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.683594°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27493224 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -73.048237°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1130 KachelY 3289 -1.40819436 -1.27493224 -80.683594 -73.048237
    Oben rechts KachelX + 1 1131 KachelY 3289 -1.40666038 -1.27493224 -80.595703 -73.048237
    Unten links KachelX 1130 KachelY + 1 3290 -1.40819436 -1.27537917 -80.683594 -73.073844
    Unten rechts KachelX + 1 1131 KachelY + 1 3290 -1.40666038 -1.27537917 -80.595703 -73.073844
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27493224--1.27537917) × R
    0.000446929999999846 × 6371000     		dl = 2847.39102999902m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27493224--1.27537917) × R
    0.000446929999999846 × 6371000     		dr = 2847.39102999902m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.40819436--1.40666038) × cos(-1.27493224) × R
    0.00153398000000005 × 0.291566501577403 × 6371000     		do = 2849.4755070936m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.40819436--1.40666038) × cos(-1.27537917) × R
    0.00153398000000005 × 0.291138961329864 × 6371000     		du = 2845.29716199198m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27493224)-sin(-1.27537917))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.291566501577403-0.291138961329864)×R²
    abs(-1.40666038--1.40819436)×0.00042754024753977×R²
    0.00153398000000005×0.00042754024753977×6371000²
    0.00153398000000005×0.00042754024753977×40589641000000     		ar = 8107622.44287118m²