Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1130 / 3288
↖ ↑ ↗
← S 73.022592°
W 80.683594°		 ← 2 853.66 m → S 73.022592°
W 80.595703°		 →
↑
2 851.60 m
↓
↑
2 851.60 m
↓
S 73.048237°
W 80.683594°		 ← 2 849.48 m →
8 131 518 m²		 S 73.048237°
W 80.595703°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1130 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3288 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.2760009765625 y=0.8028564453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.2760009765625 × 212)
    floor (0.2760009765625 × 4096)
    floor (1130.5)     		tx = 1130
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.8028564453125 × 212)
    floor (0.8028564453125 × 4096)
    floor (3288.5)     		ty = 3288
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1130 / 3288 ti = "12/1130/3288"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1130/3288.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1130 ÷ 212
    1130 ÷ 4096     		x = 0.27587890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3288 ÷ 212
    3288 ÷ 4096     		y = 0.802734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.27587890625 × 2 - 1) × π
    -0.4482421875 × 3.1415926535     		Λ = -1.40819436
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.802734375 × 2 - 1) × π
    -0.60546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.90213617692383
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.40819436} λ = -1.40819436}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.90213617692383))-π/2
    2×atan(0.149249455206495)-π/2
    2×0.148155837774754-π/2
    0.296311675549507-1.57079632675     		φ = -1.27448465
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.40819436} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.683594°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27448465 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -73.022592°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1130 KachelY 3288 -1.40819436 -1.27448465 -80.683594 -73.022592
    Oben rechts KachelX + 1 1131 KachelY 3288 -1.40666038 -1.27448465 -80.595703 -73.022592
    Unten links KachelX 1130 KachelY + 1 3289 -1.40819436 -1.27493224 -80.683594 -73.048237
    Unten rechts KachelX + 1 1131 KachelY + 1 3289 -1.40666038 -1.27493224 -80.595703 -73.048237
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27448465--1.27493224) × R
    0.000447590000000053 × 6371000     		dl = 2851.59589000034m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27448465--1.27493224) × R
    0.000447590000000053 × 6371000     		dr = 2851.59589000034m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.40819436--1.40666038) × cos(-1.27448465) × R
    0.00153398000000005 × 0.291994614822817 × 6371000     		do = 2853.65945209575m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.40819436--1.40666038) × cos(-1.27493224) × R
    0.00153398000000005 × 0.291566501577403 × 6371000     		du = 2849.4755070936m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27448465)-sin(-1.27493224))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.291994614822817-0.291566501577403)×R²
    abs(-1.40666038--1.40819436)×0.000428113245413586×R²
    0.00153398000000005×0.000428113245413586×6371000²
    0.00153398000000005×0.000428113245413586×40589641000000     		ar = 8131518.24062734m²