Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 11299 / 23820
↖ ↑ ↗
← S 62.975197°
W 55.865479°		 ← 555.08 m → S 62.975197°
W 55.854492°		 →
↑
555.04 m
↓
↑
555.04 m
↓
S 62.980189°
W 55.865479°		 ← 554.99 m →
308 068 m²		 S 62.980189°
W 55.854492°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11299 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23820 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.344833374023438 y=0.726943969726562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.344833374023438 × 215)
    floor (0.344833374023438 × 32768)
    floor (11299.5)     		tx = 11299
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.726943969726562 × 215)
    floor (0.726943969726562 × 32768)
    floor (23820.5)     		ty = 23820
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11299 / 23820 ti = "15/11299/23820"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11299/23820.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11299 ÷ 215
    11299 ÷ 32768     		x = 0.344818115234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23820 ÷ 215
    23820 ÷ 32768     		y = 0.7269287109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.344818115234375 × 2 - 1) × π
    -0.31036376953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.97503654
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7269287109375 × 2 - 1) × π
    -0.453857421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.42583514229895
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.97503654} λ = -0.97503654}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.42583514229895))-π/2
    2×atan(0.240307688266954)-π/2
    2×0.235835891061206-π/2
    0.471671782122412-1.57079632675     		φ = -1.09912454
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.97503654} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.865479°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09912454 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.975197°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11299 KachelY 23820 -0.97503654 -1.09912454 -55.865479 -62.975197
    Oben rechts KachelX + 1 11300 KachelY 23820 -0.97484479 -1.09912454 -55.854492 -62.975197
    Unten links KachelX 11299 KachelY + 1 23821 -0.97503654 -1.09921166 -55.865479 -62.980189
    Unten rechts KachelX + 1 11300 KachelY + 1 23821 -0.97484479 -1.09921166 -55.854492 -62.980189
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09912454--1.09921166) × R
    8.71199999998851e-05 × 6371000     		dl = 555.041519999268m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09912454--1.09921166) × R
    8.71199999998851e-05 × 6371000     		dr = 555.041519999268m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.97503654--0.97484479) × cos(-1.09912454) × R
    0.000191749999999935 × 0.454376163896479 × 6371000     		do = 555.083756080183m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.97503654--0.97484479) × cos(-1.09921166) × R
    0.000191749999999935 × 0.454298554812594 × 6371000     		du = 554.988945777154m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09912454)-sin(-1.09921166))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.454376163896479-0.454298554812594)×R²
    abs(-0.97484479--0.97503654)×7.76090838843779e-05×R²
    0.000191749999999935×7.76090838843779e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.76090838843779e-05×40589641000000     		ar = 308068.220068831m²