Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 11297 / 23814
↖ ↑ ↗
← S 62.945230°
W 55.887451°		 ← 555.62 m → S 62.945230°
W 55.876465°		 →
↑
555.61 m
↓
↑
555.61 m
↓
S 62.950227°
W 55.887451°		 ← 555.53 m →
308 687 m²		 S 62.950227°
W 55.876465°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11297 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23814 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.344772338867188 y=0.726760864257812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.344772338867188 × 215)
    floor (0.344772338867188 × 32768)
    floor (11297.5)     		tx = 11297
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.726760864257812 × 215)
    floor (0.726760864257812 × 32768)
    floor (23814.5)     		ty = 23814
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11297 / 23814 ti = "15/11297/23814"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11297/23814.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11297 ÷ 215
    11297 ÷ 32768     		x = 0.344757080078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23814 ÷ 215
    23814 ÷ 32768     		y = 0.72674560546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.344757080078125 × 2 - 1) × π
    -0.31048583984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.97542003
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.72674560546875 × 2 - 1) × π
    -0.4534912109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.42468465670807
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.97542003} λ = -0.97542003}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.42468465670807))-π/2
    2×atan(0.240584317898373)-π/2
    2×0.236097401645098-π/2
    0.472194803290195-1.57079632675     		φ = -1.09860152
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.97542003} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.887451°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09860152 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.945230°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11297 KachelY 23814 -0.97542003 -1.09860152 -55.887451 -62.945230
    Oben rechts KachelX + 1 11298 KachelY 23814 -0.97522829 -1.09860152 -55.876465 -62.945230
    Unten links KachelX 11297 KachelY + 1 23815 -0.97542003 -1.09868873 -55.887451 -62.950227
    Unten rechts KachelX + 1 11298 KachelY + 1 23815 -0.97522829 -1.09868873 -55.876465 -62.950227
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09860152--1.09868873) × R
    8.72099999997822e-05 × 6371000     		dl = 555.614909998612m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09860152--1.09868873) × R
    8.72099999997822e-05 × 6371000     		dr = 555.614909998612m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.97542003--0.97522829) × cos(-1.09860152) × R
    0.000191739999999996 × 0.454842013128825 × 6371000     		do = 555.62387780252m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.97542003--0.97522829) × cos(-1.09868873) × R
    0.000191739999999996 × 0.454764344602604 × 6371000     		du = 555.52899983066m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09860152)-sin(-1.09868873))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.454842013128825-0.454764344602604)×R²
    abs(-0.97522829--0.97542003)×7.76685262209864e-05×R²
    0.000191739999999996×7.76685262209864e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.76685262209864e-05×40589641000000     		ar = 308686.55324642m²