Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 11296 / 23824
↖ ↑ ↗
← S 62.995159°
W 55.898437°		 ← 554.70 m → S 62.995159°
W 55.887451°		 →
↑
554.66 m
↓
↑
554.66 m
↓
S 63.000147°
W 55.898437°		 ← 554.61 m →
307 646 m²		 S 63.000147°
W 55.887451°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11296 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23824 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.344741821289062 y=0.727066040039062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.344741821289062 × 215)
    floor (0.344741821289062 × 32768)
    floor (11296.5)     		tx = 11296
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.727066040039062 × 215)
    floor (0.727066040039062 × 32768)
    floor (23824.5)     		ty = 23824
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11296 / 23824 ti = "15/11296/23824"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11296/23824.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11296 ÷ 215
    11296 ÷ 32768     		x = 0.3447265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23824 ÷ 215
    23824 ÷ 32768     		y = 0.72705078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3447265625 × 2 - 1) × π
    -0.310546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.97561178
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.72705078125 × 2 - 1) × π
    -0.4541015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.42660213269287
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.97561178} λ = -0.97561178}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.42660213269287))-π/2
    2×atan(0.240123445243814)-π/2
    2×0.235661699504187-π/2
    0.471323399008374-1.57079632675     		φ = -1.09947293
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.97561178} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.898437°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09947293 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.995159°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11296 KachelY 23824 -0.97561178 -1.09947293 -55.898437 -62.995159
    Oben rechts KachelX + 1 11297 KachelY 23824 -0.97542003 -1.09947293 -55.887451 -62.995159
    Unten links KachelX 11296 KachelY + 1 23825 -0.97561178 -1.09955999 -55.898437 -63.000147
    Unten rechts KachelX + 1 11297 KachelY + 1 23825 -0.97542003 -1.09955999 -55.887451 -63.000147
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09947293--1.09955999) × R
    8.70600000000277e-05 × 6371000     		dl = 554.659260000176m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09947293--1.09955999) × R
    8.70600000000277e-05 × 6371000     		dr = 554.659260000176m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.97561178--0.97542003) × cos(-1.09947293) × R
    0.000191750000000046 × 0.454065787061965 × 6371000     		do = 554.704587557172m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.97561178--0.97542003) × cos(-1.09955999) × R
    0.000191750000000046 × 0.453988217653325 × 6371000     		du = 554.609825722978m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09947293)-sin(-1.09955999))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.454065787061965-0.453988217653325)×R²
    abs(-0.97542003--0.97561178)×7.75694086402323e-05×R²
    0.000191750000000046×7.75694086402323e-05×6371000²
    0.000191750000000046×7.75694086402323e-05×40589641000000     		ar = 307645.755983108m²