Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 11295 / 23809
↖ ↑ ↗
← S 62.920235°
W 55.909424°		 ← 556.13 m → S 62.920235°
W 55.898437°		 →
↑
556.06 m
↓
↑
556.06 m
↓
S 62.925235°
W 55.909424°		 ← 556.03 m →
309 214 m²		 S 62.925235°
W 55.898437°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11295 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23809 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.344711303710938 y=0.726608276367188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.344711303710938 × 215)
    floor (0.344711303710938 × 32768)
    floor (11295.5)     		tx = 11295
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.726608276367188 × 215)
    floor (0.726608276367188 × 32768)
    floor (23809.5)     		ty = 23809
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11295 / 23809 ti = "15/11295/23809"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11295/23809.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11295 ÷ 215
    11295 ÷ 32768     		x = 0.344696044921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23809 ÷ 215
    23809 ÷ 32768     		y = 0.726593017578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.344696044921875 × 2 - 1) × π
    -0.31060791015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.97580353
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.726593017578125 × 2 - 1) × π
    -0.45318603515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.42372591871567
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.97580353} λ = -0.97580353}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.42372591871567))-π/2
    2×atan(0.240815085829633)-π/2
    2×0.236315531905271-π/2
    0.472631063810543-1.57079632675     		φ = -1.09816526
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.97580353} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.909424°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09816526 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.920235°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11295 KachelY 23809 -0.97580353 -1.09816526 -55.909424 -62.920235
    Oben rechts KachelX + 1 11296 KachelY 23809 -0.97561178 -1.09816526 -55.898437 -62.920235
    Unten links KachelX 11295 KachelY + 1 23810 -0.97580353 -1.09825254 -55.909424 -62.925235
    Unten rechts KachelX + 1 11296 KachelY + 1 23810 -0.97561178 -1.09825254 -55.898437 -62.925235
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09816526--1.09825254) × R
    8.72800000000229e-05 × 6371000     		dl = 556.060880000146m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09816526--1.09825254) × R
    8.72800000000229e-05 × 6371000     		dr = 556.060880000146m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.97580353--0.97561178) × cos(-1.09816526) × R
    0.000191749999999935 × 0.455230490836502 × 6371000     		do = 556.127435402448m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.97580353--0.97561178) × cos(-1.09825254) × R
    0.000191749999999935 × 0.455152777292286 × 6371000     		du = 556.032497486577m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09816526)-sin(-1.09825254))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.455230490836502-0.455152777292286)×R²
    abs(-0.97561178--0.97580353)×7.77135442162069e-05×R²
    0.000191749999999935×7.77135442162069e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.77135442162069e-05×40589641000000     		ar = 309214.315687926m²