Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 11291 / 23861
↖ ↑ ↗
← S 63.179151°
W 55.953369°		 ← 551.21 m → S 63.179151°
W 55.942383°		 →
↑
551.16 m
↓
↑
551.16 m
↓
S 63.184107°
W 55.953369°		 ← 551.11 m →
303 774 m²		 S 63.184107°
W 55.942383°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11291 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23861 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.344589233398438 y=0.728195190429688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.344589233398438 × 215)
    floor (0.344589233398438 × 32768)
    floor (11291.5)     		tx = 11291
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.728195190429688 × 215)
    floor (0.728195190429688 × 32768)
    floor (23861.5)     		ty = 23861
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11291 / 23861 ti = "15/11291/23861"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11291/23861.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11291 ÷ 215
    11291 ÷ 32768     		x = 0.344573974609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23861 ÷ 215
    23861 ÷ 32768     		y = 0.728179931640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.344573974609375 × 2 - 1) × π
    -0.31085205078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.97657052
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.728179931640625 × 2 - 1) × π
    -0.45635986328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.43369679383664
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.97657052} λ = -0.97657052}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.43369679383664))-π/2
    2×atan(0.238425879713701)-π/2
    2×0.234056060883092-π/2
    0.468112121766185-1.57079632675     		φ = -1.10268420
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.97657052} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.953369°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10268420 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.179151°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11291 KachelY 23861 -0.97657052 -1.10268420 -55.953369 -63.179151
    Oben rechts KachelX + 1 11292 KachelY 23861 -0.97637877 -1.10268420 -55.942383 -63.179151
    Unten links KachelX 11291 KachelY + 1 23862 -0.97657052 -1.10277071 -55.953369 -63.184107
    Unten rechts KachelX + 1 11292 KachelY + 1 23862 -0.97637877 -1.10277071 -55.942383 -63.184107
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10268420--1.10277071) × R
    8.65100000000396e-05 × 6371000     		dl = 551.155210000252m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10268420--1.10277071) × R
    8.65100000000396e-05 × 6371000     		dr = 551.155210000252m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.97657052--0.97637877) × cos(-1.10268420) × R
    0.000191750000000046 × 0.451202311439191 × 6371000     		do = 551.206453344972m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.97657052--0.97637877) × cos(-1.10277071) × R
    0.000191750000000046 × 0.451125106350424 × 6371000     		du = 551.112136578235m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10268420)-sin(-1.10277071))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.451202311439191-0.451125106350424)×R²
    abs(-0.97637877--0.97657052)×7.72050887665743e-05×R²
    0.000191750000000046×7.72050887665743e-05×6371000²
    0.000191750000000046×7.72050887665743e-05×40589641000000     		ar = 303774.317146813m²