Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 11290 / 19528
↖ ↑ ↗
← S 32.620870°
W 55.964356°		 ← 1 028.93 m → S 32.620870°
W 55.953369°		 →
↑
1 028.85 m
↓
↑
1 028.85 m
↓
S 32.630123°
W 55.964356°		 ← 1 028.83 m →
1 058 566 m²		 S 32.630123°
W 55.953369°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11290 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19528 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.344558715820312 y=0.595962524414062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.344558715820312 × 215)
    floor (0.344558715820312 × 32768)
    floor (11290.5)     		tx = 11290
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.595962524414062 × 215)
    floor (0.595962524414062 × 32768)
    floor (19528.5)     		ty = 19528
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11290 / 19528 ti = "15/11290/19528"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11290/19528.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11290 ÷ 215
    11290 ÷ 32768     		x = 0.34454345703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19528 ÷ 215
    19528 ÷ 32768     		y = 0.595947265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.34454345703125 × 2 - 1) × π
    -0.3109130859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.97676227
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.595947265625 × 2 - 1) × π
    -0.19189453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.602854449621826
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.97676227} λ = -0.97676227}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.602854449621826))-π/2
    2×atan(0.547247314627492)-π/2
    2×0.500727368623626-π/2
    1.00145473724725-1.57079632675     		φ = -0.56934159
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.97676227} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.964356°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.56934159 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.620870°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11290 KachelY 19528 -0.97676227 -0.56934159 -55.964356 -32.620870
    Oben rechts KachelX + 1 11291 KachelY 19528 -0.97657052 -0.56934159 -55.953369 -32.620870
    Unten links KachelX 11290 KachelY + 1 19529 -0.97676227 -0.56950308 -55.964356 -32.630123
    Unten rechts KachelX + 1 11291 KachelY + 1 19529 -0.97657052 -0.56950308 -55.953369 -32.630123
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.56934159--0.56950308) × R
    0.000161490000000097 × 6371000     		dl = 1028.85279000062m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.56934159--0.56950308) × R
    0.000161490000000097 × 6371000     		dr = 1028.85279000062m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.97676227--0.97657052) × cos(-0.56934159) × R
    0.000191750000000046 × 0.842256091790206 × 6371000     		do = 1028.93310028277m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.97676227--0.97657052) × cos(-0.56950308) × R
    0.000191750000000046 × 0.842169025163804 × 6371000     		du = 1028.82673627459m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.56934159)-sin(-0.56950308))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.842256091790206-0.842169025163804)×R²
    abs(-0.97657052--0.97676227)×8.70666264017883e-05×R²
    0.000191750000000046×8.70666264017883e-05×6371000²
    0.000191750000000046×8.70666264017883e-05×40589641000000     		ar = 1058565.97679716m²