Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 1129 / 459
↖ ↑ ↗
← N 82.967281°
W130.385742°		 ← 598.28 m → N 82.967281°
W130.341797°		 →
↑
598.56 m
↓
↑
598.56 m
↓
N 82.961898°
W130.385742°		 ← 598.74 m →
358 242 m²		 N 82.961898°
W130.341797°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1129 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 459 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.13787841796875 y=0.05609130859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.13787841796875 × 213)
    floor (0.13787841796875 × 8192)
    floor (1129.5)     		tx = 1129
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.05609130859375 × 213)
    floor (0.05609130859375 × 8192)
    floor (459.5)     		ty = 459
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 1129 / 459 ti = "13/1129/459"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/1129/459.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1129 ÷ 213
    1129 ÷ 8192     		x = 0.1378173828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 459 ÷ 213
    459 ÷ 8192     		y = 0.0560302734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1378173828125 × 2 - 1) × π
    -0.724365234375 × 3.1415926535     		Λ = -2.27566050
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0560302734375 × 2 - 1) × π
    0.887939453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.78954406269031
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.27566050} λ = -2.27566050}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.78954406269031))-π/2
    2×atan(16.2735983694035)-π/2
    2×1.50942427174958-π/2
    3.01884854349916-1.57079632675     		φ = 1.44805222
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.27566050} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -130.385742°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.44805222 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.967281°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1129 KachelY 459 -2.27566050 1.44805222 -130.385742 82.967281
    Oben rechts KachelX + 1 1130 KachelY 459 -2.27489351 1.44805222 -130.341797 82.967281
    Unten links KachelX 1129 KachelY + 1 460 -2.27566050 1.44795827 -130.385742 82.961898
    Unten rechts KachelX + 1 1130 KachelY + 1 460 -2.27489351 1.44795827 -130.341797 82.961898
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.44805222-1.44795827) × R
    9.39499999998983e-05 × 6371000     		dl = 598.555449999352m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.44805222-1.44795827) × R
    9.39499999998983e-05 × 6371000     		dr = 598.555449999352m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.27566050--2.27489351) × cos(1.44805222) × R
    0.000766989999999801 × 0.12243612606997 × 6371000     		do = 598.283308494346m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.27566050--2.27489351) × cos(1.44795827) × R
    0.000766989999999801 × 0.122529368686814 × 6371000     		du = 598.738937915898m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.44805222)-sin(1.44795827))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.12243612606997-0.122529368686814)×R²
    abs(-2.27489351--2.27566050)×9.32426168444439e-05×R²
    0.000766989999999801×9.32426168444439e-05×6371000²
    0.000766989999999801×9.32426168444439e-05×40589641000000     		ar = 358242.09494428m²