Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1129 / 3290
↖ ↑ ↗
← S 73.073844°
W 80.771484°		 ← 2 845.30 m → S 73.073844°
W 80.683594°		 →
↑
2 843.19 m
↓
↑
2 843.19 m
↓
S 73.099413°
W 80.771484°		 ← 2 841.12 m →
8 083 778 m²		 S 73.099413°
W 80.683594°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1129 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3290 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.2757568359375 y=0.8033447265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.2757568359375 × 212)
    floor (0.2757568359375 × 4096)
    floor (1129.5)     		tx = 1129
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.8033447265625 × 212)
    floor (0.8033447265625 × 4096)
    floor (3290.5)     		ty = 3290
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1129 / 3290 ti = "12/1129/3290"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1129/3290.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1129 ÷ 212
    1129 ÷ 4096     		x = 0.275634765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3290 ÷ 212
    3290 ÷ 4096     		y = 0.80322265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.275634765625 × 2 - 1) × π
    -0.44873046875 × 3.1415926535     		Λ = -1.40972834
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.80322265625 × 2 - 1) × π
    -0.6064453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.90520413849951
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.40972834} λ = -1.40972834}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.90520413849951))-π/2
    2×atan(0.148792265291879)-π/2
    2×0.147708580212889-π/2
    0.295417160425777-1.57079632675     		φ = -1.27537917
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.40972834} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.771484°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27537917 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -73.073844°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1129 KachelY 3290 -1.40972834 -1.27537917 -80.771484 -73.073844
    Oben rechts KachelX + 1 1130 KachelY 3290 -1.40819436 -1.27537917 -80.683594 -73.073844
    Unten links KachelX 1129 KachelY + 1 3291 -1.40972834 -1.27582544 -80.771484 -73.099413
    Unten rechts KachelX + 1 1130 KachelY + 1 3291 -1.40819436 -1.27582544 -80.683594 -73.099413
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27537917--1.27582544) × R
    0.000446270000000082 × 6371000     		dl = 2843.18617000052m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27537917--1.27582544) × R
    0.000446270000000082 × 6371000     		dr = 2843.18617000052m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.40972834--1.40819436) × cos(-1.27537917) × R
    0.00153398000000005 × 0.291138961329864 × 6371000     		do = 2845.29716199198m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.40972834--1.40819436) × cos(-1.27582544) × R
    0.00153398000000005 × 0.290711994423421 × 6371000     		du = 2841.12442014522m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27537917)-sin(-1.27582544))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.291138961329864-0.290711994423421)×R²
    abs(-1.40819436--1.40972834)×0.000426966906442228×R²
    0.00153398000000005×0.000426966906442228×6371000²
    0.00153398000000005×0.000426966906442228×40589641000000     		ar = 8083777.73372317m²