Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1129 / 3287
↖ ↑ ↗
← S 72.996909°
W 80.771484°		 ← 2 857.85 m → S 72.996909°
W 80.683594°		 →
↑
2 855.74 m
↓
↑
2 855.74 m
↓
S 73.022592°
W 80.771484°		 ← 2 853.66 m →
8 155 283 m²		 S 73.022592°
W 80.683594°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1129 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3287 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.2757568359375 y=0.8026123046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.2757568359375 × 212)
    floor (0.2757568359375 × 4096)
    floor (1129.5)     		tx = 1129
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.8026123046875 × 212)
    floor (0.8026123046875 × 4096)
    floor (3287.5)     		ty = 3287
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1129 / 3287 ti = "12/1129/3287"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1129/3287.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1129 ÷ 212
    1129 ÷ 4096     		x = 0.275634765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3287 ÷ 212
    3287 ÷ 4096     		y = 0.802490234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.275634765625 × 2 - 1) × π
    -0.44873046875 × 3.1415926535     		Λ = -1.40972834
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.802490234375 × 2 - 1) × π
    -0.60498046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.90060219613599
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.40972834} λ = -1.40972834}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.90060219613599))-π/2
    2×atan(0.149478576692427)-π/2
    2×0.148379959198403-π/2
    0.296759918396806-1.57079632675     		φ = -1.27403641
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.40972834} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.771484°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27403641 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.996909°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1129 KachelY 3287 -1.40972834 -1.27403641 -80.771484 -72.996909
    Oben rechts KachelX + 1 1130 KachelY 3287 -1.40819436 -1.27403641 -80.683594 -72.996909
    Unten links KachelX 1129 KachelY + 1 3288 -1.40972834 -1.27448465 -80.771484 -73.022592
    Unten rechts KachelX + 1 1130 KachelY + 1 3288 -1.40819436 -1.27448465 -80.683594 -73.022592
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27403641--1.27448465) × R
    0.0004482400000001 × 6371000     		dl = 2855.73704000063m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27403641--1.27448465) × R
    0.0004482400000001 × 6371000     		dr = 2855.73704000063m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.40972834--1.40819436) × cos(-1.27403641) × R
    0.00153398000000005 × 0.292423291158863 × 6371000     		do = 2857.84890017509m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.40972834--1.40819436) × cos(-1.27448465) × R
    0.00153398000000005 × 0.291994614822817 × 6371000     		du = 2853.65945209575m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27403641)-sin(-1.27448465))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.292423291158863-0.291994614822817)×R²
    abs(-1.40819436--1.40972834)×0.000428676336046097×R²
    0.00153398000000005×0.000428676336046097×6371000²
    0.00153398000000005×0.000428676336046097×40589641000000     		ar = 8155283.11447357m²