Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 11289 / 23864
↖ ↑ ↗
← S 63.194018°
W 55.975342°		 ← 550.89 m → S 63.194018°
W 55.964356°		 →
↑
550.84 m
↓
↑
550.84 m
↓
S 63.198972°
W 55.975342°		 ← 550.80 m →
303 427 m²		 S 63.198972°
W 55.964356°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11289 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23864 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.344528198242188 y=0.728286743164062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.344528198242188 × 215)
    floor (0.344528198242188 × 32768)
    floor (11289.5)     		tx = 11289
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.728286743164062 × 215)
    floor (0.728286743164062 × 32768)
    floor (23864.5)     		ty = 23864
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11289 / 23864 ti = "15/11289/23864"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11289/23864.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11289 ÷ 215
    11289 ÷ 32768     		x = 0.344512939453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23864 ÷ 215
    23864 ÷ 32768     		y = 0.728271484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.344512939453125 × 2 - 1) × π
    -0.31097412109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.97695401
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.728271484375 × 2 - 1) × π
    -0.45654296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.43427203663208
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.97695401} λ = -0.97695401}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.43427203663208))-π/2
    2×atan(0.238288766384658)-π/2
    2×0.233926318751373-π/2
    0.467852637502747-1.57079632675     		φ = -1.10294369
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.97695401} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.975342°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10294369 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.194018°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11289 KachelY 23864 -0.97695401 -1.10294369 -55.975342 -63.194018
    Oben rechts KachelX + 1 11290 KachelY 23864 -0.97676227 -1.10294369 -55.964356 -63.194018
    Unten links KachelX 11289 KachelY + 1 23865 -0.97695401 -1.10303015 -55.975342 -63.198972
    Unten rechts KachelX + 1 11290 KachelY + 1 23865 -0.97676227 -1.10303015 -55.964356 -63.198972
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10294369--1.10303015) × R
    8.64599999998994e-05 × 6371000     		dl = 550.836659999359m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10294369--1.10303015) × R
    8.64599999998994e-05 × 6371000     		dr = 550.836659999359m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.97695401--0.97676227) × cos(-1.10294369) × R
    0.000191739999999996 × 0.450970721746385 × 6371000     		do = 550.894802941518m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.97695401--0.97676227) × cos(-1.10303015) × R
    0.000191739999999996 × 0.450893551161166 × 6371000     		du = 550.800533242206m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10294369)-sin(-1.10303015))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.450970721746385-0.450893551161166)×R²
    abs(-0.97676227--0.97695401)×7.71705852193327e-05×R²
    0.000191739999999996×7.71705852193327e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.71705852193327e-05×40589641000000     		ar = 303427.089849379m²