Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 11286 / 23830
↖ ↑ ↗
← S 63.025074°
W 56.008301°		 ← 554.14 m → S 63.025074°
W 55.997314°		 →
↑
554.09 m
↓
↑
554.09 m
↓
S 63.030057°
W 56.008301°		 ← 554.04 m →
307 013 m²		 S 63.030057°
W 55.997314°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11286 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23830 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.344436645507812 y=0.727249145507812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.344436645507812 × 215)
    floor (0.344436645507812 × 32768)
    floor (11286.5)     		tx = 11286
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.727249145507812 × 215)
    floor (0.727249145507812 × 32768)
    floor (23830.5)     		ty = 23830
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11286 / 23830 ti = "15/11286/23830"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11286/23830.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11286 ÷ 215
    11286 ÷ 32768     		x = 0.34442138671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23830 ÷ 215
    23830 ÷ 32768     		y = 0.72723388671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.34442138671875 × 2 - 1) × π
    -0.3111572265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.97752926
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.72723388671875 × 2 - 1) × π
    -0.4544677734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.42775261828375
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.97752926} λ = -0.97752926}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.42775261828375))-π/2
    2×atan(0.239847345534851)-π/2
    2×0.235400635266548-π/2
    0.470801270533097-1.57079632675     		φ = -1.09999506
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.97752926} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.008301°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09999506 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.025074°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11286 KachelY 23830 -0.97752926 -1.09999506 -56.008301 -63.025074
    Oben rechts KachelX + 1 11287 KachelY 23830 -0.97733751 -1.09999506 -55.997314 -63.025074
    Unten links KachelX 11286 KachelY + 1 23831 -0.97752926 -1.10008203 -56.008301 -63.030057
    Unten rechts KachelX + 1 11287 KachelY + 1 23831 -0.97733751 -1.10008203 -55.997314 -63.030057
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09999506--1.10008203) × R
    8.69700000001306e-05 × 6371000     		dl = 554.085870000832m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09999506--1.10008203) × R
    8.69700000001306e-05 × 6371000     		dr = 554.085870000832m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.97752926--0.97733751) × cos(-1.09999506) × R
    0.000191749999999935 × 0.453600523984401 × 6371000     		do = 554.136203919723m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.97752926--0.97733751) × cos(-1.10008203) × R
    0.000191749999999935 × 0.453523014159807 × 6371000     		du = 554.041514875739m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09999506)-sin(-1.10008203))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.453600523984401-0.453523014159807)×R²
    abs(-0.97733751--0.97752926)×7.75098245942019e-05×R²
    0.000191749999999935×7.75098245942019e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.75098245942019e-05×40589641000000     		ar = 307012.807911184m²