Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 11285 / 23833
↖ ↑ ↗
← S 63.040021°
W 56.019287°		 ← 553.82 m → S 63.040021°
W 56.008301°		 →
↑
553.77 m
↓
↑
553.77 m
↓
S 63.045001°
W 56.019287°		 ← 553.73 m →
306 663 m²		 S 63.045001°
W 56.008301°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11285 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23833 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.344406127929688 y=0.727340698242188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.344406127929688 × 215)
    floor (0.344406127929688 × 32768)
    floor (11285.5)     		tx = 11285
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.727340698242188 × 215)
    floor (0.727340698242188 × 32768)
    floor (23833.5)     		ty = 23833
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11285 / 23833 ti = "15/11285/23833"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11285/23833.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11285 ÷ 215
    11285 ÷ 32768     		x = 0.344390869140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23833 ÷ 215
    23833 ÷ 32768     		y = 0.727325439453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.344390869140625 × 2 - 1) × π
    -0.31121826171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.97772100
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.727325439453125 × 2 - 1) × π
    -0.45465087890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.42832786107919
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.97772100} λ = -0.97772100}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.42832786107919))-π/2
    2×atan(0.239709414752974)-π/2
    2×0.235270203486746-π/2
    0.470540406973491-1.57079632675     		φ = -1.10025592
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.97772100} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.019287°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10025592 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.040021°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11285 KachelY 23833 -0.97772100 -1.10025592 -56.019287 -63.040021
    Oben rechts KachelX + 1 11286 KachelY 23833 -0.97752926 -1.10025592 -56.008301 -63.040021
    Unten links KachelX 11285 KachelY + 1 23834 -0.97772100 -1.10034284 -56.019287 -63.045001
    Unten rechts KachelX + 1 11286 KachelY + 1 23834 -0.97752926 -1.10034284 -56.008301 -63.045001
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10025592--1.10034284) × R
    8.69199999999903e-05 × 6371000     		dl = 553.767319999938m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10025592--1.10034284) × R
    8.69199999999903e-05 × 6371000     		dr = 553.767319999938m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.97772100--0.97752926) × cos(-1.10025592) × R
    0.000191739999999996 × 0.453368028786331 × 6371000     		do = 553.823294583385m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.97772100--0.97752926) × cos(-1.10034284) × R
    0.000191739999999996 × 0.453290553242562 × 6371000     		du = 553.72865235417m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10025592)-sin(-1.10034284))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.453368028786331-0.453290553242562)×R²
    abs(-0.97752926--0.97772100)×7.74755437684682e-05×R²
    0.000191739999999996×7.74755437684682e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.74755437684682e-05×40589641000000     		ar = 306663.036901505m²