Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 11284 / 23832
↖ ↑ ↗
← S 63.035039°
W 56.030273°		 ← 553.95 m → S 63.035039°
W 56.019287°		 →
↑
553.89 m
↓
↑
553.89 m
↓
S 63.040021°
W 56.030273°		 ← 553.85 m →
306 802 m²		 S 63.040021°
W 56.019287°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11284 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23832 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.344375610351562 y=0.727310180664062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.344375610351562 × 215)
    floor (0.344375610351562 × 32768)
    floor (11284.5)     		tx = 11284
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.727310180664062 × 215)
    floor (0.727310180664062 × 32768)
    floor (23832.5)     		ty = 23832
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11284 / 23832 ti = "15/11284/23832"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11284/23832.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11284 ÷ 215
    11284 ÷ 32768     		x = 0.3443603515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23832 ÷ 215
    23832 ÷ 32768     		y = 0.727294921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3443603515625 × 2 - 1) × π
    -0.311279296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.97791275
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.727294921875 × 2 - 1) × π
    -0.45458984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.42813611348071
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.97791275} λ = -0.97791275}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.42813611348071))-π/2
    2×atan(0.239755382864583)-π/2
    2×0.235313673316669-π/2
    0.470627346633339-1.57079632675     		φ = -1.10016898
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.97791275} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.030273°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10016898 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.035039°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11284 KachelY 23832 -0.97791275 -1.10016898 -56.030273 -63.035039
    Oben rechts KachelX + 1 11285 KachelY 23832 -0.97772100 -1.10016898 -56.019287 -63.035039
    Unten links KachelX 11284 KachelY + 1 23833 -0.97791275 -1.10025592 -56.030273 -63.040021
    Unten rechts KachelX + 1 11285 KachelY + 1 23833 -0.97772100 -1.10025592 -56.019287 -63.040021
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10016898--1.10025592) × R
    8.69399999998688e-05 × 6371000     		dl = 553.894739999164m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10016898--1.10025592) × R
    8.69399999998688e-05 × 6371000     		dr = 553.894739999164m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.97791275--0.97772100) × cos(-1.10016898) × R
    0.000191750000000046 × 0.453445518730545 × 6371000     		do = 553.946843417976m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.97791275--0.97772100) × cos(-1.10025592) × R
    0.000191750000000046 × 0.453368028786331 × 6371000     		du = 553.852178660645m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10016898)-sin(-1.10025592))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.453445518730545-0.453368028786331)×R²
    abs(-0.97772100--0.97791275)×7.74899442137489e-05×R²
    0.000191750000000046×7.74899442137489e-05×6371000²
    0.000191750000000046×7.74899442137489e-05×40589641000000     		ar = 306802.025846042m²