Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 11283 / 23860
↖ ↑ ↗
← S 63.174194°
W 56.041260°		 ← 551.30 m → S 63.174194°
W 56.030273°		 →
↑
551.22 m
↓
↑
551.22 m
↓
S 63.179151°
W 56.041260°		 ← 551.21 m →
303 861 m²		 S 63.179151°
W 56.030273°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11283 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23860 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.344345092773438 y=0.728164672851562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.344345092773438 × 215)
    floor (0.344345092773438 × 32768)
    floor (11283.5)     		tx = 11283
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.728164672851562 × 215)
    floor (0.728164672851562 × 32768)
    floor (23860.5)     		ty = 23860
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11283 / 23860 ti = "15/11283/23860"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11283/23860.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11283 ÷ 215
    11283 ÷ 32768     		x = 0.344329833984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23860 ÷ 215
    23860 ÷ 32768     		y = 0.7281494140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.344329833984375 × 2 - 1) × π
    -0.31134033203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.97810450
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7281494140625 × 2 - 1) × π
    -0.456298828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.43350504623816
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.97810450} λ = -0.97810450}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.43350504623816))-π/2
    2×atan(0.238471601686951)-π/2
    2×0.234099323063832-π/2
    0.468198646127665-1.57079632675     		φ = -1.10259768
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.97810450} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.041260°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10259768 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.174194°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11283 KachelY 23860 -0.97810450 -1.10259768 -56.041260 -63.174194
    Oben rechts KachelX + 1 11284 KachelY 23860 -0.97791275 -1.10259768 -56.030273 -63.174194
    Unten links KachelX 11283 KachelY + 1 23861 -0.97810450 -1.10268420 -56.041260 -63.179151
    Unten rechts KachelX + 1 11284 KachelY + 1 23861 -0.97791275 -1.10268420 -56.030273 -63.179151
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10259768--1.10268420) × R
    8.65199999999788e-05 × 6371000     		dl = 551.218919999865m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10259768--1.10268420) × R
    8.65199999999788e-05 × 6371000     		dr = 551.218919999865m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.97810450--0.97791275) × cos(-1.10259768) × R
    0.000191750000000046 × 0.451279522074995 × 6371000     		do = 551.300776888187m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.97810450--0.97791275) × cos(-1.10268420) × R
    0.000191750000000046 × 0.451202311439191 × 6371000     		du = 551.206453344972m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10259768)-sin(-1.10268420))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.451279522074995-0.451202311439191)×R²
    abs(-0.97791275--0.97810450)×7.72106358039037e-05×R²
    0.000191750000000046×7.72106358039037e-05×6371000²
    0.000191750000000046×7.72106358039037e-05×40589641000000     		ar = 303861.422560642m²