Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 11281 / 23835
↖ ↑ ↗
← S 63.049980°
W 56.063233°		 ← 553.66 m → S 63.049980°
W 56.052246°		 →
↑
553.64 m
↓
↑
553.64 m
↓
S 63.054959°
W 56.063233°		 ← 553.57 m →
306 504 m²		 S 63.054959°
W 56.052246°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11281 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23835 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.344284057617188 y=0.727401733398438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.344284057617188 × 215)
    floor (0.344284057617188 × 32768)
    floor (11281.5)     		tx = 11281
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.727401733398438 × 215)
    floor (0.727401733398438 × 32768)
    floor (23835.5)     		ty = 23835
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11281 / 23835 ti = "15/11281/23835"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11281/23835.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11281 ÷ 215
    11281 ÷ 32768     		x = 0.344268798828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23835 ÷ 215
    23835 ÷ 32768     		y = 0.727386474609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.344268798828125 × 2 - 1) × π
    -0.31146240234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.97848800
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.727386474609375 × 2 - 1) × π
    -0.45477294921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.42871135627615
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.97848800} λ = -0.97848800}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.42871135627615))-π/2
    2×atan(0.239617504968357)-π/2
    2×0.235183286112224-π/2
    0.470366572224448-1.57079632675     		φ = -1.10042975
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.97848800} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.063233°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10042975 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.049980°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11281 KachelY 23835 -0.97848800 -1.10042975 -56.063233 -63.049980
    Oben rechts KachelX + 1 11282 KachelY 23835 -0.97829625 -1.10042975 -56.052246 -63.049980
    Unten links KachelX 11281 KachelY + 1 23836 -0.97848800 -1.10051665 -56.063233 -63.054959
    Unten rechts KachelX + 1 11282 KachelY + 1 23836 -0.97829625 -1.10051665 -56.052246 -63.054959
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10042975--1.10051665) × R
    8.69000000001119e-05 × 6371000     		dl = 553.639900000713m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10042975--1.10051665) × R
    8.69000000001119e-05 × 6371000     		dr = 553.639900000713m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.97848800--0.97829625) × cos(-1.10042975) × R
    0.000191750000000046 × 0.453213083188167 × 6371000     		do = 553.662891036312m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.97848800--0.97829625) × cos(-1.10051665) × R
    0.000191750000000046 × 0.453135618624911 × 6371000     		du = 553.568257285355m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10042975)-sin(-1.10051665))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.453213083188167-0.453135618624911)×R²
    abs(-0.97829625--0.97848800)×7.7464563255969e-05×R²
    0.000191750000000046×7.7464563255969e-05×6371000²
    0.000191750000000046×7.7464563255969e-05×40589641000000     		ar = 306503.671310451m²