Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 11281 / 19529
↖ ↑ ↗
← S 32.630123°
W 56.063233°		 ← 1 028.83 m → S 32.630123°
W 56.052246°		 →
↑
1 028.79 m
↓
↑
1 028.79 m
↓
S 32.639375°
W 56.063233°		 ← 1 028.72 m →
1 058 391 m²		 S 32.639375°
W 56.052246°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11281 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19529 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.344284057617188 y=0.595993041992188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.344284057617188 × 215)
    floor (0.344284057617188 × 32768)
    floor (11281.5)     		tx = 11281
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.595993041992188 × 215)
    floor (0.595993041992188 × 32768)
    floor (19529.5)     		ty = 19529
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11281 / 19529 ti = "15/11281/19529"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11281/19529.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11281 ÷ 215
    11281 ÷ 32768     		x = 0.344268798828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19529 ÷ 215
    19529 ÷ 32768     		y = 0.595977783203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.344268798828125 × 2 - 1) × π
    -0.31146240234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.97848800
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.595977783203125 × 2 - 1) × π
    -0.19195556640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.603046197220306
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.97848800} λ = -0.97848800}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.603046197220306))-π/2
    2×atan(0.547142391328854)-π/2
    2×0.500646622505808-π/2
    1.00129324501162-1.57079632675     		φ = -0.56950308
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.97848800} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.063233°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.56950308 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.630123°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11281 KachelY 19529 -0.97848800 -0.56950308 -56.063233 -32.630123
    Oben rechts KachelX + 1 11282 KachelY 19529 -0.97829625 -0.56950308 -56.052246 -32.630123
    Unten links KachelX 11281 KachelY + 1 19530 -0.97848800 -0.56966456 -56.063233 -32.639375
    Unten rechts KachelX + 1 11282 KachelY + 1 19530 -0.97829625 -0.56966456 -56.052246 -32.639375
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.56950308--0.56966456) × R
    0.000161479999999936 × 6371000     		dl = 1028.78907999959m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.56950308--0.56966456) × R
    0.000161479999999936 × 6371000     		dr = 1028.78907999959m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.97848800--0.97829625) × cos(-0.56950308) × R
    0.000191750000000046 × 0.842169025163804 × 6371000     		do = 1028.82673627459m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.97848800--0.97829625) × cos(-0.56966456) × R
    0.000191750000000046 × 0.842081941967956 × 6371000     		du = 1028.72035202452m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.56950308)-sin(-0.56966456))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.842169025163804-0.842081941967956)×R²
    abs(-0.97829625--0.97848800)×8.70831958484919e-05×R²
    0.000191750000000046×8.70831958484919e-05×6371000²
    0.000191750000000046×8.70831958484919e-05×40589641000000     		ar = 1058390.99031325m²