Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 11281 / 19445
↖ ↑ ↗
← S 31.849565°
W 56.063233°		 ← 1 037.70 m → S 31.849565°
W 56.052246°		 →
↑
1 037.64 m
↓
↑
1 037.64 m
↓
S 31.858897°
W 56.063233°		 ← 1 037.60 m →
1 076 715 m²		 S 31.858897°
W 56.052246°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11281 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19445 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.344284057617188 y=0.593429565429688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.344284057617188 × 215)
    floor (0.344284057617188 × 32768)
    floor (11281.5)     		tx = 11281
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.593429565429688 × 215)
    floor (0.593429565429688 × 32768)
    floor (19445.5)     		ty = 19445
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11281 / 19445 ti = "15/11281/19445"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11281/19445.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11281 ÷ 215
    11281 ÷ 32768     		x = 0.344268798828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19445 ÷ 215
    19445 ÷ 32768     		y = 0.593414306640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.344268798828125 × 2 - 1) × π
    -0.31146240234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.97848800
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.593414306640625 × 2 - 1) × π
    -0.18682861328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.586939398947968
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.97848800} λ = -0.97848800}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.586939398947968))-π/2
    2×atan(0.556026458325189)-π/2
    2×0.507458273250524-π/2
    1.01491654650105-1.57079632675     		φ = -0.55587978
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.97848800} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.063233°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.55587978 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.849565°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11281 KachelY 19445 -0.97848800 -0.55587978 -56.063233 -31.849565
    Oben rechts KachelX + 1 11282 KachelY 19445 -0.97829625 -0.55587978 -56.052246 -31.849565
    Unten links KachelX 11281 KachelY + 1 19446 -0.97848800 -0.55604265 -56.063233 -31.858897
    Unten rechts KachelX + 1 11282 KachelY + 1 19446 -0.97829625 -0.55604265 -56.052246 -31.858897
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.55587978--0.55604265) × R
    0.000162869999999926 × 6371000     		dl = 1037.64476999953m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.55587978--0.55604265) × R
    0.000162869999999926 × 6371000     		dr = 1037.64476999953m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.97848800--0.97829625) × cos(-0.55587978) × R
    0.000191750000000046 × 0.849436517236074 × 6371000     		do = 1037.70498983914m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.97848800--0.97829625) × cos(-0.55604265) × R
    0.000191750000000046 × 0.849350560965995 × 6371000     		du = 1037.59998228583m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.55587978)-sin(-0.55604265))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.849436517236074-0.849350560965995)×R²
    abs(-0.97829625--0.97848800)×8.59562700786798e-05×R²
    0.000191750000000046×8.59562700786798e-05×6371000²
    0.000191750000000046×8.59562700786798e-05×40589641000000     		ar = 1076714.67761914m²