Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 11280 / 19449
↖ ↑ ↗
← S 31.886887°
W 56.074219°		 ← 1 037.23 m → S 31.886887°
W 56.063233°		 →
↑
1 037.20 m
↓
↑
1 037.20 m
↓
S 31.896214°
W 56.074219°		 ← 1 037.13 m →
1 075 760 m²		 S 31.896214°
W 56.063233°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11280 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19449 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.344253540039062 y=0.593551635742188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.344253540039062 × 215)
    floor (0.344253540039062 × 32768)
    floor (11280.5)     		tx = 11280
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.593551635742188 × 215)
    floor (0.593551635742188 × 32768)
    floor (19449.5)     		ty = 19449
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11280 / 19449 ti = "15/11280/19449"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11280/19449.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11280 ÷ 215
    11280 ÷ 32768     		x = 0.34423828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19449 ÷ 215
    19449 ÷ 32768     		y = 0.593536376953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.34423828125 × 2 - 1) × π
    -0.3115234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.97867974
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.593536376953125 × 2 - 1) × π
    -0.18707275390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.587706389341888
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.97867974} λ = -0.97867974}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.587706389341888))-π/2
    2×atan(0.555600154879111)-π/2
    2×0.507132584362234-π/2
    1.01426516872447-1.57079632675     		φ = -0.55653116
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.97867974} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.074219°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.55653116 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.886887°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11280 KachelY 19449 -0.97867974 -0.55653116 -56.074219 -31.886887
    Oben rechts KachelX + 1 11281 KachelY 19449 -0.97848800 -0.55653116 -56.063233 -31.886887
    Unten links KachelX 11280 KachelY + 1 19450 -0.97867974 -0.55669396 -56.074219 -31.896214
    Unten rechts KachelX + 1 11281 KachelY + 1 19450 -0.97848800 -0.55669396 -56.063233 -31.896214
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.55653116--0.55669396) × R
    0.000162800000000018 × 6371000     		dl = 1037.19880000012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.55653116--0.55669396) × R
    0.000162800000000018 × 6371000     		dr = 1037.19880000012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.97867974--0.97848800) × cos(-0.55653116) × R
    0.000191739999999996 × 0.849092609806805 × 6371000     		do = 1037.23076333473m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.97867974--0.97848800) × cos(-0.55669396) × R
    0.000191739999999996 × 0.849006600429345 × 6371000     		du = 1037.12569638302m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.55653116)-sin(-0.55669396))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.849092609806805-0.849006600429345)×R²
    abs(-0.97848800--0.97867974)×8.60093774600612e-05×R²
    0.000191739999999996×8.60093774600612e-05×6371000²
    0.000191739999999996×8.60093774600612e-05×40589641000000     		ar = 1075760.01777231m²