Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 1128 / 614
↖ ↑ ↗
← N 82.082145°
W130.429688°		 ← 673.13 m → N 82.082145°
W130.385742°		 →
↑
673.35 m
↓
↑
673.35 m
↓
N 82.076089°
W130.429688°		 ← 673.64 m →
453 425 m²		 N 82.076089°
W130.385742°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1128 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 614 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.13775634765625 y=0.07501220703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.13775634765625 × 213)
    floor (0.13775634765625 × 8192)
    floor (1128.5)     		tx = 1128
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.07501220703125 × 213)
    floor (0.07501220703125 × 8192)
    floor (614.5)     		ty = 614
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 1128 / 614 ti = "13/1128/614"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/1128/614.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1128 ÷ 213
    1128 ÷ 8192     		x = 0.1376953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 614 ÷ 213
    614 ÷ 8192     		y = 0.074951171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1376953125 × 2 - 1) × π
    -0.724609375 × 3.1415926535     		Λ = -2.27642749
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.074951171875 × 2 - 1) × π
    0.85009765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.67066055163257
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.27642749} λ = -2.27642749}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.67066055163257))-π/2
    2×atan(14.4495106890059)-π/2
    2×1.50170000368956-π/2
    3.00340000737911-1.57079632675     		φ = 1.43260368
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.27642749} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -130.429688°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.43260368 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.082145°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1128 KachelY 614 -2.27642749 1.43260368 -130.429688 82.082145
    Oben rechts KachelX + 1 1129 KachelY 614 -2.27566050 1.43260368 -130.385742 82.082145
    Unten links KachelX 1128 KachelY + 1 615 -2.27642749 1.43249799 -130.429688 82.076089
    Unten rechts KachelX + 1 1129 KachelY + 1 615 -2.27566050 1.43249799 -130.385742 82.076089
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.43260368-1.43249799) × R
    0.000105689999999825 × 6371000     		dl = 673.350989998886m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.43260368-1.43249799) × R
    0.000105689999999825 × 6371000     		dr = 673.350989998886m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.27642749--2.27566050) × cos(1.43260368) × R
    0.000766990000000245 × 0.137753217653554 × 6371000     		do = 673.130173740216m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.27642749--2.27566050) × cos(1.43249799) × R
    0.000766990000000245 × 0.137857899297085 × 6371000     		du = 673.641699888914m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.43260368)-sin(1.43249799))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.137753217653554-0.137857899297085)×R²
    abs(-2.27566050--2.27642749)×0.000104681643530502×R²
    0.000766990000000245×0.000104681643530502×6371000²
    0.000766990000000245×0.000104681643530502×40589641000000     		ar = 453425.087627564m²