Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1128 / 3192
↖ ↑ ↗
← S 70.377854°
W 80.859375°		 ← 3 281.92 m → S 70.377854°
W 80.771484°		 →
↑
3 279.54 m
↓
↑
3 279.54 m
↓
S 70.407347°
W 80.859375°		 ← 3 277.18 m →
10 755 411 m²		 S 70.407347°
W 80.771484°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1128 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3192 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.2755126953125 y=0.7794189453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.2755126953125 × 212)
    floor (0.2755126953125 × 4096)
    floor (1128.5)     		tx = 1128
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7794189453125 × 212)
    floor (0.7794189453125 × 4096)
    floor (3192.5)     		ty = 3192
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1128 / 3192 ti = "12/1128/3192"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1128/3192.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1128 ÷ 212
    1128 ÷ 4096     		x = 0.275390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3192 ÷ 212
    3192 ÷ 4096     		y = 0.779296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.275390625 × 2 - 1) × π
    -0.44921875 × 3.1415926535     		Λ = -1.41126232
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.779296875 × 2 - 1) × π
    -0.55859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.75487402129102
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41126232} λ = -1.41126232}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.75487402129102))-π/2
    2×atan(0.172929026295006)-π/2
    2×0.171235527526007-π/2
    0.342471055052013-1.57079632675     		φ = -1.22832527
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41126232} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.859375°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22832527 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.377854°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1128 KachelY 3192 -1.41126232 -1.22832527 -80.859375 -70.377854
    Oben rechts KachelX + 1 1129 KachelY 3192 -1.40972834 -1.22832527 -80.771484 -70.377854
    Unten links KachelX 1128 KachelY + 1 3193 -1.41126232 -1.22884003 -80.859375 -70.407347
    Unten rechts KachelX + 1 1129 KachelY + 1 3193 -1.40972834 -1.22884003 -80.771484 -70.407347
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22832527--1.22884003) × R
    0.000514759999999947 × 6371000     		dl = 3279.53595999967m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22832527--1.22884003) × R
    0.000514759999999947 × 6371000     		dr = 3279.53595999967m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41126232--1.40972834) × cos(-1.22832527) × R
    0.00153398000000005 × 0.335815671936321 × 6371000     		do = 3281.92205518745m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41126232--1.40972834) × cos(-1.22884003) × R
    0.00153398000000005 × 0.335330760751424 × 6371000     		du = 3277.18302468496m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22832527)-sin(-1.22884003))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.335815671936321-0.335330760751424)×R²
    abs(-1.40972834--1.41126232)×0.00048491118489713×R²
    0.00153398000000005×0.00048491118489713×6371000²
    0.00153398000000005×0.00048491118489713×40589641000000     		ar = 10755410.7249253m²