Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
11 / 1128 / 1228
↖ ↑ ↗
← S 33.724340°
E 18.281250°		 ← 16.257 km → S 33.724340°
E 18.457032°		 →
↑
16.243 km
↓
↑
16.243 km
↓
S 33.870416°
E 18.281250°		 ← 16.229 km →
263.832 km²		 S 33.870416°
E 18.457032°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1128 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1228 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.551025390625 y=0.599853515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.551025390625 × 211)
    floor (0.551025390625 × 2048)
    floor (1128.5)     		tx = 1128
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.599853515625 × 211)
    floor (0.599853515625 × 2048)
    floor (1228.5)     		ty = 1228
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1128 / 1228 ti = "11/1128/1228"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1128/1228.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1128 ÷ 211
    1128 ÷ 2048     		x = 0.55078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1228 ÷ 211
    1228 ÷ 2048     		y = 0.599609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.55078125 × 2 - 1) × π
    0.1015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.31906800
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.599609375 × 2 - 1) × π
    -0.19921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.625864161439453
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.31906800} λ = 0.31906800}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.625864161439453))-π/2
    2×atan(0.534799076034804)-π/2
    2×0.491097780825684-π/2
    0.982195561651369-1.57079632675     		φ = -0.58860077
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.31906800} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.281250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.58860077 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.724340°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1128 KachelY 1228 0.31906800 -0.58860077 18.281250 -33.724340
    Oben rechts KachelX + 1 1129 KachelY 1228 0.32213597 -0.58860077 18.457032 -33.724340
    Unten links KachelX 1128 KachelY + 1 1229 0.31906800 -0.59115027 18.281250 -33.870416
    Unten rechts KachelX + 1 1129 KachelY + 1 1229 0.32213597 -0.59115027 18.457032 -33.870416
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.58860077--0.59115027) × R
    0.00254949999999998 × 6371000     		dl = 16242.8644999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.58860077--0.59115027) × R
    0.00254949999999998 × 6371000     		dr = 16242.8644999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.31906800-0.32213597) × cos(-0.58860077) × R
    0.00306796999999998 × 0.831718342454006 × 6371000     		do = 16256.7973870612m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.31906800-0.32213597) × cos(-0.59115027) × R
    0.00306796999999998 × 0.830300164129962 × 6371000     		du = 16229.0776212512m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.58860077)-sin(-0.59115027))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.831718342454006-0.830300164129962)×R²
    abs(0.32213597-0.31906800)×0.00141817832404378×R²
    0.00306796999999998×0.00141817832404378×6371000²
    0.00306796999999998×0.00141817832404378×40589641000000     		ar = 263831975.869885m²