Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 11279 / 23838
↖ ↑ ↗
← S 63.064914°
W 56.085205°		 ← 553.38 m → S 63.064914°
W 56.074219°		 →
↑
553.32 m
↓
↑
553.32 m
↓
S 63.069891°
W 56.085205°		 ← 553.28 m →
306 170 m²		 S 63.069891°
W 56.074219°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11279 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23838 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.344223022460938 y=0.727493286132812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.344223022460938 × 215)
    floor (0.344223022460938 × 32768)
    floor (11279.5)     		tx = 11279
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.727493286132812 × 215)
    floor (0.727493286132812 × 32768)
    floor (23838.5)     		ty = 23838
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11279 / 23838 ti = "15/11279/23838"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11279/23838.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11279 ÷ 215
    11279 ÷ 32768     		x = 0.344207763671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23838 ÷ 215
    23838 ÷ 32768     		y = 0.72747802734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.344207763671875 × 2 - 1) × π
    -0.31158447265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.97887149
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.72747802734375 × 2 - 1) × π
    -0.4549560546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.42928659907159
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.97887149} λ = -0.97887149}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.42928659907159))-π/2
    2×atan(0.23947970636259)-π/2
    2×0.235052965749638-π/2
    0.470105931499276-1.57079632675     		φ = -1.10069040
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.97887149} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.085205°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10069040 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.064914°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11279 KachelY 23838 -0.97887149 -1.10069040 -56.085205 -63.064914
    Oben rechts KachelX + 1 11280 KachelY 23838 -0.97867974 -1.10069040 -56.074219 -63.064914
    Unten links KachelX 11279 KachelY + 1 23839 -0.97887149 -1.10077725 -56.085205 -63.069891
    Unten rechts KachelX + 1 11280 KachelY + 1 23839 -0.97867974 -1.10077725 -56.074219 -63.069891
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10069040--1.10077725) × R
    8.68499999999717e-05 × 6371000     		dl = 553.32134999982m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10069040--1.10077725) × R
    8.68499999999717e-05 × 6371000     		dr = 553.32134999982m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.97887149--0.97867974) × cos(-1.10069040) × R
    0.000191749999999935 × 0.45298072380929 × 6371000     		do = 553.37903169865m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.97887149--0.97867974) × cos(-1.10077725) × R
    0.000191749999999935 × 0.452903293562029 × 6371000     		du = 553.28443986946m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10069040)-sin(-1.10077725))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.45298072380929-0.452903293562029)×R²
    abs(-0.97867974--0.97887149)×7.74302472601462e-05×R²
    0.000191749999999935×7.74302472601462e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.74302472601462e-05×40589641000000     		ar = 306170.263233698m²