Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 11279 / 23805
↖ ↑ ↗
← S 62.900223°
W 56.085205°		 ← 556.51 m → S 62.900223°
W 56.074219°		 →
↑
556.44 m
↓
↑
556.44 m
↓
S 62.905227°
W 56.085205°		 ← 556.41 m →
309 638 m²		 S 62.905227°
W 56.074219°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11279 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23805 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.344223022460938 y=0.726486206054688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.344223022460938 × 215)
    floor (0.344223022460938 × 32768)
    floor (11279.5)     		tx = 11279
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.726486206054688 × 215)
    floor (0.726486206054688 × 32768)
    floor (23805.5)     		ty = 23805
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11279 / 23805 ti = "15/11279/23805"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11279/23805.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11279 ÷ 215
    11279 ÷ 32768     		x = 0.344207763671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23805 ÷ 215
    23805 ÷ 32768     		y = 0.726470947265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.344207763671875 × 2 - 1) × π
    -0.31158447265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.97887149
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.726470947265625 × 2 - 1) × π
    -0.45294189453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.42295892832175
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.97887149} λ = -0.97887149}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.42295892832175))-π/2
    2×atan(0.240999859537947)-π/2
    2×0.236490170231619-π/2
    0.472980340463238-1.57079632675     		φ = -1.09781599
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.97887149} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.085205°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09781599 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.900223°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11279 KachelY 23805 -0.97887149 -1.09781599 -56.085205 -62.900223
    Oben rechts KachelX + 1 11280 KachelY 23805 -0.97867974 -1.09781599 -56.074219 -62.900223
    Unten links KachelX 11279 KachelY + 1 23806 -0.97887149 -1.09790333 -56.085205 -62.905227
    Unten rechts KachelX + 1 11280 KachelY + 1 23806 -0.97867974 -1.09790333 -56.074219 -62.905227
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09781599--1.09790333) × R
    8.73400000001023e-05 × 6371000     		dl = 556.443140000652m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09781599--1.09790333) × R
    8.73400000001023e-05 × 6371000     		dr = 556.443140000652m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.97887149--0.97867974) × cos(-1.09781599) × R
    0.000191749999999935 × 0.455541443861098 × 6371000     		do = 556.507307822201m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.97887149--0.97867974) × cos(-1.09790333) × R
    0.000191749999999935 × 0.455463690782553 × 6371000     		du = 556.412321609641m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09781599)-sin(-1.09790333))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.455541443861098-0.455463690782553)×R²
    abs(-0.97867974--0.97887149)×7.77530785455172e-05×R²
    0.000191749999999935×7.77530785455172e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.77530785455172e-05×40589641000000     		ar = 309638.246781905m²