Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 11276 / 23572
↖ ↑ ↗
← S 61.710706°
W 56.118164°		 ← 578.93 m → S 61.710706°
W 56.107178°		 →
↑
578.93 m
↓
↑
578.93 m
↓
S 61.715912°
W 56.118164°		 ← 578.84 m →
335 135 m²		 S 61.715912°
W 56.107178°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11276 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23572 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.344131469726562 y=0.719375610351562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.344131469726562 × 215)
    floor (0.344131469726562 × 32768)
    floor (11276.5)     		tx = 11276
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.719375610351562 × 215)
    floor (0.719375610351562 × 32768)
    floor (23572.5)     		ty = 23572
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11276 / 23572 ti = "15/11276/23572"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11276/23572.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11276 ÷ 215
    11276 ÷ 32768     		x = 0.3441162109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23572 ÷ 215
    23572 ÷ 32768     		y = 0.7193603515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3441162109375 × 2 - 1) × π
    -0.311767578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.97944673
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7193603515625 × 2 - 1) × π
    -0.438720703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.37828173787585
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.97944673} λ = -0.97944673}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.37828173787585))-π/2
    2×atan(0.2520112025549)-π/2
    2×0.246870662050934-π/2
    0.493741324101869-1.57079632675     		φ = -1.07705500
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.97944673} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.118164°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07705500 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.710706°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11276 KachelY 23572 -0.97944673 -1.07705500 -56.118164 -61.710706
    Oben rechts KachelX + 1 11277 KachelY 23572 -0.97925499 -1.07705500 -56.107178 -61.710706
    Unten links KachelX 11276 KachelY + 1 23573 -0.97944673 -1.07714587 -56.118164 -61.715912
    Unten rechts KachelX + 1 11277 KachelY + 1 23573 -0.97925499 -1.07714587 -56.107178 -61.715912
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07705500--1.07714587) × R
    9.08699999999651e-05 × 6371000     		dl = 578.932769999778m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07705500--1.07714587) × R
    9.08699999999651e-05 × 6371000     		dr = 578.932769999778m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.97944673--0.97925499) × cos(-1.07705500) × R
    0.000191739999999996 × 0.473923682240649 × 6371000     		do = 578.933578051897m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.97944673--0.97925499) × cos(-1.07714587) × R
    0.000191739999999996 × 0.473843663258727 × 6371000     		du = 578.835828820845m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07705500)-sin(-1.07714587))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.473923682240649-0.473843663258727)×R²
    abs(-0.97925499--0.97944673)×8.00189819223363e-05×R²
    0.000191739999999996×8.00189819223363e-05×6371000²
    0.000191739999999996×8.00189819223363e-05×40589641000000     		ar = 335135.325100932m²