Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 11274 / 23802
↖ ↑ ↗
← S 62.885205°
W 56.140137°		 ← 556.79 m → S 62.885205°
W 56.129150°		 →
↑
556.76 m
↓
↑
556.76 m
↓
S 62.890212°
W 56.140137°		 ← 556.70 m →
309 974 m²		 S 62.890212°
W 56.129150°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11274 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23802 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.344070434570312 y=0.726394653320312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.344070434570312 × 215)
    floor (0.344070434570312 × 32768)
    floor (11274.5)     		tx = 11274
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.726394653320312 × 215)
    floor (0.726394653320312 × 32768)
    floor (23802.5)     		ty = 23802
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11274 / 23802 ti = "15/11274/23802"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11274/23802.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11274 ÷ 215
    11274 ÷ 32768     		x = 0.34405517578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23802 ÷ 215
    23802 ÷ 32768     		y = 0.72637939453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.34405517578125 × 2 - 1) × π
    -0.3118896484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.97983023
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.72637939453125 × 2 - 1) × π
    -0.4527587890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.42238368552631
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.97983023} λ = -0.97983023}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.42238368552631))-π/2
    2×atan(0.241138532852437)-π/2
    2×0.23662122725146-π/2
    0.473242454502921-1.57079632675     		φ = -1.09755387
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.97983023} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.140137°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09755387 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.885205°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11274 KachelY 23802 -0.97983023 -1.09755387 -56.140137 -62.885205
    Oben rechts KachelX + 1 11275 KachelY 23802 -0.97963848 -1.09755387 -56.129150 -62.885205
    Unten links KachelX 11274 KachelY + 1 23803 -0.97983023 -1.09764126 -56.140137 -62.890212
    Unten rechts KachelX + 1 11275 KachelY + 1 23803 -0.97963848 -1.09764126 -56.129150 -62.890212
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09755387--1.09764126) × R
    8.73900000000205e-05 × 6371000     		dl = 556.761690000131m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09755387--1.09764126) × R
    8.73900000000205e-05 × 6371000     		dr = 556.761690000131m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.97983023--0.97963848) × cos(-1.09755387) × R
    0.000191750000000046 × 0.455774771253904 × 6371000     		do = 556.792349723675m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.97983023--0.97963848) × cos(-1.09764126) × R
    0.000191750000000046 × 0.455696984099358 × 6371000     		du = 556.697321882535m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09755387)-sin(-1.09764126))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.455774771253904-0.455696984099358)×R²
    abs(-0.97963848--0.97983023)×7.77871545465381e-05×R²
    0.000191750000000046×7.77871545465381e-05×6371000²
    0.000191750000000046×7.77871545465381e-05×40589641000000     		ar = 309974.195878112m²