Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 11270 / 23558
↖ ↑ ↗
← S 61.637726°
W 56.184082°		 ← 580.33 m → S 61.637726°
W 56.173096°		 →
↑
580.27 m
↓
↑
580.27 m
↓
S 61.642945°
W 56.184082°		 ← 580.24 m →
336 722 m²		 S 61.642945°
W 56.173096°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11270 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23558 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.343948364257812 y=0.718948364257812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.343948364257812 × 215)
    floor (0.343948364257812 × 32768)
    floor (11270.5)     		tx = 11270
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.718948364257812 × 215)
    floor (0.718948364257812 × 32768)
    floor (23558.5)     		ty = 23558
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11270 / 23558 ti = "15/11270/23558"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11270/23558.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11270 ÷ 215
    11270 ÷ 32768     		x = 0.34393310546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23558 ÷ 215
    23558 ÷ 32768     		y = 0.71893310546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.34393310546875 × 2 - 1) × π
    -0.3121337890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.98059722
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.71893310546875 × 2 - 1) × π
    -0.4378662109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.37559727149713
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.98059722} λ = -0.98059722}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.37559727149713))-π/2
    2×atan(0.252688627009993)-π/2
    2×0.247507530405325-π/2
    0.49501506081065-1.57079632675     		φ = -1.07578127
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.98059722} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.184082°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07578127 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.637726°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11270 KachelY 23558 -0.98059722 -1.07578127 -56.184082 -61.637726
    Oben rechts KachelX + 1 11271 KachelY 23558 -0.98040547 -1.07578127 -56.173096 -61.637726
    Unten links KachelX 11270 KachelY + 1 23559 -0.98059722 -1.07587235 -56.184082 -61.642945
    Unten rechts KachelX + 1 11271 KachelY + 1 23559 -0.98040547 -1.07587235 -56.173096 -61.642945
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07578127--1.07587235) × R
    9.10800000000211e-05 × 6371000     		dl = 580.270680000135m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07578127--1.07587235) × R
    9.10800000000211e-05 × 6371000     		dr = 580.270680000135m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.98059722--0.98040547) × cos(-1.07578127) × R
    0.000191750000000046 × 0.475044900725483 × 6371000     		do = 580.333496238743m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.98059722--0.98040547) × cos(-1.07587235) × R
    0.000191750000000046 × 0.474964751856573 × 6371000     		du = 580.23558323464m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07578127)-sin(-1.07587235))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.475044900725483-0.474964751856573)×R²
    abs(-0.98040547--0.98059722)×8.01488689097241e-05×R²
    0.000191750000000046×8.01488689097241e-05×6371000²
    0.000191750000000046×8.01488689097241e-05×40589641000000     		ar = 336722.104699129m²