Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 1127 / 613
↖ ↑ ↗
← N 82.088196°
W130.473633°		 ← 672.62 m → N 82.088196°
W130.429688°		 →
↑
672.91 m
↓
↑
672.91 m
↓
N 82.082145°
W130.473633°		 ← 673.13 m →
452 781 m²		 N 82.082145°
W130.429688°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1127 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 613 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.13763427734375 y=0.07489013671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.13763427734375 × 213)
    floor (0.13763427734375 × 8192)
    floor (1127.5)     		tx = 1127
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.07489013671875 × 213)
    floor (0.07489013671875 × 8192)
    floor (613.5)     		ty = 613
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 1127 / 613 ti = "13/1127/613"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/1127/613.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1127 ÷ 213
    1127 ÷ 8192     		x = 0.1375732421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 613 ÷ 213
    613 ÷ 8192     		y = 0.0748291015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1375732421875 × 2 - 1) × π
    -0.724853515625 × 3.1415926535     		Λ = -2.27719448
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0748291015625 × 2 - 1) × π
    0.850341796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.67142754202649
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.27719448} λ = -2.27719448}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.67142754202649))-π/2
    2×atan(14.4605975761257)-π/2
    2×1.50175281132562-π/2
    3.00350562265125-1.57079632675     		φ = 1.43270930
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.27719448} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -130.473633°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.43270930 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.088196°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1127 KachelY 613 -2.27719448 1.43270930 -130.473633 82.088196
    Oben rechts KachelX + 1 1128 KachelY 613 -2.27642749 1.43270930 -130.429688 82.088196
    Unten links KachelX 1127 KachelY + 1 614 -2.27719448 1.43260368 -130.473633 82.082145
    Unten rechts KachelX + 1 1128 KachelY + 1 614 -2.27642749 1.43260368 -130.429688 82.082145
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.43270930-1.43260368) × R
    0.000105620000000028 × 6371000     		dl = 672.905020000181m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.43270930-1.43260368) × R
    0.000105620000000028 × 6371000     		dr = 672.905020000181m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.27719448--2.27642749) × cos(1.43270930) × R
    0.000766989999999801 × 0.137648603804947 × 6371000     		do = 672.618978870569m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.27719448--2.27642749) × cos(1.43260368) × R
    0.000766989999999801 × 0.137753217653554 × 6371000     		du = 673.130173739827m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.43270930)-sin(1.43260368))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.137648603804947-0.137753217653554)×R²
    abs(-2.27642749--2.27719448)×0.000104613848606772×R²
    0.000766989999999801×0.000104613848606772×6371000²
    0.000766989999999801×0.000104613848606772×40589641000000     		ar = 452780.680646558m²