Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1127 / 1625
↖ ↑ ↗
← S 72.019729°
E 18.105469°		 ← 6 033.64 m → S 72.019729°
E 18.281250°		 →
↑
6 024.86 m
↓
↑
6 024.86 m
↓
S 72.073911°
E 18.105469°		 ← 6 016.05 m →
36 298 870 m²		 S 72.073911°
E 18.281250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1127 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1625 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.550537109375 y=0.793701171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.550537109375 × 211)
    floor (0.550537109375 × 2048)
    floor (1127.5)     		tx = 1127
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.793701171875 × 211)
    floor (0.793701171875 × 2048)
    floor (1625.5)     		ty = 1625
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1127 / 1625 ti = "11/1127/1625"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1127/1625.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1127 ÷ 211
    1127 ÷ 2048     		x = 0.55029296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1625 ÷ 211
    1625 ÷ 2048     		y = 0.79345703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.55029296875 × 2 - 1) × π
    0.1005859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.31600004
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.79345703125 × 2 - 1) × π
    -0.5869140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.84384490698584
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.31600004} λ = 0.31600004}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.84384490698584))-π/2
    2×atan(0.158207960296312)-π/2
    2×0.156907466732096-π/2
    0.313814933464192-1.57079632675     		φ = -1.25698139
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.31600004} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.105469°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.25698139 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.019729°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1127 KachelY 1625 0.31600004 -1.25698139 18.105469 -72.019729
    Oben rechts KachelX + 1 1128 KachelY 1625 0.31906800 -1.25698139 18.281250 -72.019729
    Unten links KachelX 1127 KachelY + 1 1626 0.31600004 -1.25792706 18.105469 -72.073911
    Unten rechts KachelX + 1 1128 KachelY + 1 1626 0.31906800 -1.25792706 18.281250 -72.073911
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.25698139--1.25792706) × R
    0.000945670000000121 × 6371000     		dl = 6024.86357000077m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.25698139--1.25792706) × R
    0.000945670000000121 × 6371000     		dr = 6024.86357000077m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.31600004-0.31906800) × cos(-1.25698139) × R
    0.00306796000000004 × 0.30868950013794 × 6371000     		do = 6033.63668447007m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.31600004-0.31906800) × cos(-1.25792706) × R
    0.00306796000000004 × 0.307789876057852 × 6371000     		du = 6016.05265634658m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.25698139)-sin(-1.25792706))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.30868950013794-0.307789876057852)×R²
    abs(0.31906800-0.31600004)×0.000899624080087869×R²
    0.00306796000000004×0.000899624080087869×6371000²
    0.00306796000000004×0.000899624080087869×40589641000000     		ar = 36298869.8748088m²