Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 11269 / 19443
↖ ↑ ↗
← S 31.830899°
W 56.195069°		 ← 1 037.91 m → S 31.830899°
W 56.184082°		 →
↑
1 037.84 m
↓
↑
1 037.84 m
↓
S 31.840232°
W 56.195069°		 ← 1 037.81 m →
1 077 131 m²		 S 31.840232°
W 56.184082°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11269 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19443 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.343917846679688 y=0.593368530273438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.343917846679688 × 215)
    floor (0.343917846679688 × 32768)
    floor (11269.5)     		tx = 11269
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.593368530273438 × 215)
    floor (0.593368530273438 × 32768)
    floor (19443.5)     		ty = 19443
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11269 / 19443 ti = "15/11269/19443"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11269/19443.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11269 ÷ 215
    11269 ÷ 32768     		x = 0.343902587890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19443 ÷ 215
    19443 ÷ 32768     		y = 0.593353271484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.343902587890625 × 2 - 1) × π
    -0.31219482421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.98078897
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.593353271484375 × 2 - 1) × π
    -0.18670654296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.586555903751007
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.98078897} λ = -0.98078897}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.586555903751007))-π/2
    2×atan(0.556239732693574)-π/2
    2×0.507621167141464-π/2
    1.01524233428293-1.57079632675     		φ = -0.55555399
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.98078897} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.195069°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.55555399 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.830899°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11269 KachelY 19443 -0.98078897 -0.55555399 -56.195069 -31.830899
    Oben rechts KachelX + 1 11270 KachelY 19443 -0.98059722 -0.55555399 -56.184082 -31.830899
    Unten links KachelX 11269 KachelY + 1 19444 -0.98078897 -0.55571689 -56.195069 -31.840232
    Unten rechts KachelX + 1 11270 KachelY + 1 19444 -0.98059722 -0.55571689 -56.184082 -31.840232
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.55555399--0.55571689) × R
    0.000162899999999966 × 6371000     		dl = 1037.83589999978m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.55555399--0.55571689) × R
    0.000162899999999966 × 6371000     		dr = 1037.83589999978m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.98078897--0.98059722) × cos(-0.55555399) × R
    0.000191749999999935 × 0.849608388546574 × 6371000     		do = 1037.91495457739m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.98078897--0.98059722) × cos(-0.55571689) × R
    0.000191749999999935 × 0.849522461524508 × 6371000     		du = 1037.8099827546m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.55555399)-sin(-0.55571689))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.849608388546574-0.849522461524508)×R²
    abs(-0.98059722--0.98078897)×8.59270220657793e-05×R²
    0.000191749999999935×8.59270220657793e-05×6371000²
    0.000191749999999935×8.59270220657793e-05×40589641000000     		ar = 1077130.93162582m²