Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 11268 / 19461
↖ ↑ ↗
← S 31.998760°
W 56.206054°		 ← 1 035.97 m → S 31.998760°
W 56.195069°		 →
↑
1 035.92 m
↓
↑
1 035.92 m
↓
S 32.008076°
W 56.206054°		 ← 1 035.86 m →
1 073 131 m²		 S 32.008076°
W 56.195069°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11268 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19461 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.343887329101562 y=0.593917846679688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.343887329101562 × 215)
    floor (0.343887329101562 × 32768)
    floor (11268.5)     		tx = 11268
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.593917846679688 × 215)
    floor (0.593917846679688 × 32768)
    floor (19461.5)     		ty = 19461
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11268 / 19461 ti = "15/11268/19461"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11268/19461.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11268 ÷ 215
    11268 ÷ 32768     		x = 0.3438720703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19461 ÷ 215
    19461 ÷ 32768     		y = 0.593902587890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3438720703125 × 2 - 1) × π
    -0.312255859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.98098071
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.593902587890625 × 2 - 1) × π
    -0.18780517578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.590007360523651
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.98098071} λ = -0.98098071}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.590007360523651))-π/2
    2×atan(0.554323204610433)-π/2
    2×0.506156309607662-π/2
    1.01231261921532-1.57079632675     		φ = -0.55848371
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.98098071} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.206054°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.55848371 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.998760°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11268 KachelY 19461 -0.98098071 -0.55848371 -56.206054 -31.998760
    Oben rechts KachelX + 1 11269 KachelY 19461 -0.98078897 -0.55848371 -56.195069 -31.998760
    Unten links KachelX 11268 KachelY + 1 19462 -0.98098071 -0.55864631 -56.206054 -32.008076
    Unten rechts KachelX + 1 11269 KachelY + 1 19462 -0.98078897 -0.55864631 -56.195069 -32.008076
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.55848371--0.55864631) × R
    0.000162600000000013 × 6371000     		dl = 1035.92460000008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.55848371--0.55864631) × R
    0.000162600000000013 × 6371000     		dr = 1035.92460000008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.98098071--0.98078897) × cos(-0.55848371) × R
    0.000191739999999996 × 0.848059569047921 × 6371000     		do = 1035.96882601186m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.98098071--0.98078897) × cos(-0.55864631) × R
    0.000191739999999996 × 0.847973395950598 × 6371000     		du = 1035.86355906396m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.55848371)-sin(-0.55864631))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.848059569047921-0.847973395950598)×R²
    abs(-0.98078897--0.98098071)×8.61730973229502e-05×R²
    0.000191739999999996×8.61730973229502e-05×6371000²
    0.000191739999999996×8.61730973229502e-05×40589641000000     		ar = 1073131.06975246m²