Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 11267 / 19542
↖ ↑ ↗
← S 32.750323°
W 56.217041°		 ← 1 027.44 m → S 32.750323°
W 56.206054°		 →
↑
1 027.39 m
↓
↑
1 027.39 m
↓
S 32.759562°
W 56.217041°		 ← 1 027.34 m →
1 055 527 m²		 S 32.759562°
W 56.206054°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11267 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19542 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.343856811523438 y=0.596389770507812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.343856811523438 × 215)
    floor (0.343856811523438 × 32768)
    floor (11267.5)     		tx = 11267
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.596389770507812 × 215)
    floor (0.596389770507812 × 32768)
    floor (19542.5)     		ty = 19542
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11267 / 19542 ti = "15/11267/19542"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11267/19542.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11267 ÷ 215
    11267 ÷ 32768     		x = 0.343841552734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19542 ÷ 215
    19542 ÷ 32768     		y = 0.59637451171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.343841552734375 × 2 - 1) × π
    -0.31231689453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.98117246
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.59637451171875 × 2 - 1) × π
    -0.1927490234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.605538916000549
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.98117246} λ = -0.98117246}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.605538916000549))-π/2
    2×atan(0.545780217677782)-π/2
    2×0.499597683106419-π/2
    0.999195366212838-1.57079632675     		φ = -0.57160096
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.98117246} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.217041°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.57160096 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.750323°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11267 KachelY 19542 -0.98117246 -0.57160096 -56.217041 -32.750323
    Oben rechts KachelX + 1 11268 KachelY 19542 -0.98098071 -0.57160096 -56.206054 -32.750323
    Unten links KachelX 11267 KachelY + 1 19543 -0.98117246 -0.57176222 -56.217041 -32.759562
    Unten rechts KachelX + 1 11268 KachelY + 1 19543 -0.98098071 -0.57176222 -56.206054 -32.759562
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.57160096--0.57176222) × R
    0.000161259999999941 × 6371000     		dl = 1027.38745999962m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.57160096--0.57176222) × R
    0.000161259999999941 × 6371000     		dr = 1027.38745999962m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.98117246--0.98098071) × cos(-0.57160096) × R
    0.000191750000000046 × 0.841035967280014 × 6371000     		do = 1027.44254829123m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.98117246--0.98098071) × cos(-0.57176222) × R
    0.000191750000000046 × 0.84094871803809 × 6371000     		du = 1027.33596119276m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.57160096)-sin(-0.57176222))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.841035967280014-0.84094871803809)×R²
    abs(-0.98098071--0.98117246)×8.72492419244919e-05×R²
    0.000191750000000046×8.72492419244919e-05×6371000²
    0.000191750000000046×8.72492419244919e-05×40589641000000     		ar = 1055526.83914774m²