Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 11265 / 3085
↖ ↑ ↗
← N 73.940714°
E 67.521973°		 ← 675.89 m → N 73.940714°
E 67.543946°		 →
↑
676.03 m
↓
↑
676.03 m
↓
N 73.934634°
E 67.521973°		 ← 676.14 m →
457 003 m²		 N 73.934634°
E 67.543946°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11265 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3085 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.687591552734375 y=0.188323974609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.687591552734375 × 214)
    floor (0.687591552734375 × 16384)
    floor (11265.5)     		tx = 11265
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.188323974609375 × 214)
    floor (0.188323974609375 × 16384)
    floor (3085.5)     		ty = 3085
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 11265 / 3085 ti = "14/11265/3085"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/11265/3085.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11265 ÷ 214
    11265 ÷ 16384     		x = 0.68756103515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3085 ÷ 214
    3085 ÷ 16384     		y = 0.18829345703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.68756103515625 × 2 - 1) × π
    0.3751220703125 × 3.1415926535     		Λ = 1.17848074
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.18829345703125 × 2 - 1) × π
    0.6234130859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.95850997087701
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.17848074} λ = 1.17848074}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.95850997087701))-π/2
    2×atan(7.08875673807922)-π/2
    2×1.43065261815566-π/2
    2.86130523631133-1.57079632675     		φ = 1.29050891
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.17848074} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.521973°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.29050891 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.940714°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11265 KachelY 3085 1.17848074 1.29050891 67.521973 73.940714
    Oben rechts KachelX + 1 11266 KachelY 3085 1.17886424 1.29050891 67.543946 73.940714
    Unten links KachelX 11265 KachelY + 1 3086 1.17848074 1.29040280 67.521973 73.934634
    Unten rechts KachelX + 1 11266 KachelY + 1 3086 1.17886424 1.29040280 67.543946 73.934634
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.29050891-1.29040280) × R
    0.000106109999999937 × 6371000     		dl = 676.026809999599m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.29050891-1.29040280) × R
    0.000106109999999937 × 6371000     		dr = 676.026809999599m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.17848074-1.17886424) × cos(1.29050891) × R
    0.000383500000000092 × 0.276631860619457 × 6371000     		do = 675.888677466678m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.17848074-1.17886424) × cos(1.29040280) × R
    0.000383500000000092 × 0.27673382822203 × 6371000     		du = 676.137812717741m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.29050891)-sin(1.29040280))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.276631860619457-0.27673382822203)×R²
    abs(1.17886424-1.17848074)×0.000101967602572584×R²
    0.000383500000000092×0.000101967602572584×6371000²
    0.000383500000000092×0.000101967602572584×40589641000000     		ar = 457003.07802755m²