Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 11263 / 19454
↖ ↑ ↗
← S 31.933517°
W 56.260986°		 ← 1 036.76 m → S 31.933517°
W 56.250000°		 →
↑
1 036.69 m
↓
↑
1 036.69 m
↓
S 31.942840°
W 56.260986°		 ← 1 036.65 m →
1 074 743 m²		 S 31.942840°
W 56.250000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11263 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19454 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.343734741210938 y=0.593704223632812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.343734741210938 × 215)
    floor (0.343734741210938 × 32768)
    floor (11263.5)     		tx = 11263
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.593704223632812 × 215)
    floor (0.593704223632812 × 32768)
    floor (19454.5)     		ty = 19454
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11263 / 19454 ti = "15/11263/19454"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11263/19454.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11263 ÷ 215
    11263 ÷ 32768     		x = 0.343719482421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19454 ÷ 215
    19454 ÷ 32768     		y = 0.59368896484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.343719482421875 × 2 - 1) × π
    -0.31256103515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.98193945
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.59368896484375 × 2 - 1) × π
    -0.1873779296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.58866512733429
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.98193945} λ = -0.98193945}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.58866512733429))-π/2
    2×atan(0.555067735168329)-π/2
    2×0.506725658786579-π/2
    1.01345131757316-1.57079632675     		φ = -0.55734501
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.98193945} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.260986°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.55734501 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.933517°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11263 KachelY 19454 -0.98193945 -0.55734501 -56.260986 -31.933517
    Oben rechts KachelX + 1 11264 KachelY 19454 -0.98174770 -0.55734501 -56.250000 -31.933517
    Unten links KachelX 11263 KachelY + 1 19455 -0.98193945 -0.55750773 -56.260986 -31.942840
    Unten rechts KachelX + 1 11264 KachelY + 1 19455 -0.98174770 -0.55750773 -56.250000 -31.942840
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.55734501--0.55750773) × R
    0.00016271999999995 × 6371000     		dl = 1036.68911999968m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.55734501--0.55750773) × R
    0.00016271999999995 × 6371000     		dr = 1036.68911999968m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.98193945--0.98174770) × cos(-0.55734501) × R
    0.000191750000000046 × 0.8486624172632 × 6371000     		do = 1036.75931892885m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.98193945--0.98174770) × cos(-0.55750773) × R
    0.000191750000000046 × 0.848576337745435 × 6371000     		du = 1036.65416081133m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.55734501)-sin(-0.55750773))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.8486624172632-0.848576337745435)×R²
    abs(-0.98174770--0.98193945)×8.60795177646256e-05×R²
    0.000191750000000046×8.60795177646256e-05×6371000²
    0.000191750000000046×8.60795177646256e-05×40589641000000     		ar = 1074742.60022467m²