Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 11262 / 3086
↖ ↑ ↗
← N 73.934634°
E 67.456054°		 ← 676.14 m → N 73.934634°
E 67.478027°		 →
↑
676.22 m
↓
↑
676.22 m
↓
N 73.928553°
E 67.456054°		 ← 676.39 m →
457 301 m²		 N 73.928553°
E 67.478027°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11262 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3086 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.687408447265625 y=0.188385009765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.687408447265625 × 214)
    floor (0.687408447265625 × 16384)
    floor (11262.5)     		tx = 11262
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.188385009765625 × 214)
    floor (0.188385009765625 × 16384)
    floor (3086.5)     		ty = 3086
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 11262 / 3086 ti = "14/11262/3086"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/11262/3086.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11262 ÷ 214
    11262 ÷ 16384     		x = 0.6873779296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3086 ÷ 214
    3086 ÷ 16384     		y = 0.1883544921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6873779296875 × 2 - 1) × π
    0.374755859375 × 3.1415926535     		Λ = 1.17733025
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1883544921875 × 2 - 1) × π
    0.623291015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.95812647568005
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.17733025} λ = 1.17733025}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.95812647568005))-π/2
    2×atan(7.08603875511776)-π/2
    2×1.43059956488549-π/2
    2.86119912977097-1.57079632675     		φ = 1.29040280
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.17733025} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.456054°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.29040280 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.934634°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11262 KachelY 3086 1.17733025 1.29040280 67.456054 73.934634
    Oben rechts KachelX + 1 11263 KachelY 3086 1.17771375 1.29040280 67.478027 73.934634
    Unten links KachelX 11262 KachelY + 1 3087 1.17733025 1.29029666 67.456054 73.928553
    Unten rechts KachelX + 1 11263 KachelY + 1 3087 1.17771375 1.29029666 67.478027 73.928553
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.29040280-1.29029666) × R
    0.000106139999999977 × 6371000     		dl = 676.217939999852m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.29040280-1.29029666) × R
    0.000106139999999977 × 6371000     		dr = 676.217939999852m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.17733025-1.17771375) × cos(1.29040280) × R
    0.00038349999999987 × 0.27673382822203 × 6371000     		do = 676.137812717349m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.17733025-1.17771375) × cos(1.29029666) × R
    0.00038349999999987 × 0.276835821536281 × 6371000     		du = 676.387010789204m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.29040280)-sin(1.29029666))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.27673382822203-0.276835821536281)×R²
    abs(1.17771375-1.17733025)×0.000101993314251592×R²
    0.00038349999999987×0.000101993314251592×6371000²
    0.00038349999999987×0.000101993314251592×40589641000000     		ar = 457300.775403239m²