Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1126 / 3280
↖ ↑ ↗
← S 72.816073°
W 81.035156°		 ← 2 887.33 m → S 72.816073°
W 80.947266°		 →
↑
2 885.23 m
↓
↑
2 885.23 m
↓
S 72.842021°
W 81.035156°		 ← 2 883.10 m →
8 324 530 m²		 S 72.842021°
W 80.947266°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1126 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3280 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.2750244140625 y=0.8009033203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.2750244140625 × 212)
    floor (0.2750244140625 × 4096)
    floor (1126.5)     		tx = 1126
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.8009033203125 × 212)
    floor (0.8009033203125 × 4096)
    floor (3280.5)     		ty = 3280
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1126 / 3280 ti = "12/1126/3280"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1126/3280.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1126 ÷ 212
    1126 ÷ 4096     		x = 0.27490234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3280 ÷ 212
    3280 ÷ 4096     		y = 0.80078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.27490234375 × 2 - 1) × π
    -0.4501953125 × 3.1415926535     		Λ = -1.41433029
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.80078125 × 2 - 1) × π
    -0.6015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.88986433062109
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41433029} λ = -1.41433029}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.88986433062109))-π/2
    2×atan(0.151092306045236)-π/2
    2×0.14995804602153-π/2
    0.29991609204306-1.57079632675     		φ = -1.27088023
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41433029} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.035156°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27088023 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.816073°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1126 KachelY 3280 -1.41433029 -1.27088023 -81.035156 -72.816073
    Oben rechts KachelX + 1 1127 KachelY 3280 -1.41279631 -1.27088023 -80.947266 -72.816073
    Unten links KachelX 1126 KachelY + 1 3281 -1.41433029 -1.27133310 -81.035156 -72.842021
    Unten rechts KachelX + 1 1127 KachelY + 1 3281 -1.41279631 -1.27133310 -80.947266 -72.842021
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27088023--1.27133310) × R
    0.000452870000000161 × 6371000     		dl = 2885.23477000102m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27088023--1.27133310) × R
    0.000452870000000161 × 6371000     		dr = 2885.23477000102m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41433029--1.41279631) × cos(-1.27088023) × R
    0.00153398000000005 × 0.29544004982785 × 6371000     		do = 2887.3316421622m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41433029--1.41279631) × cos(-1.27133310) × R
    0.00153398000000005 × 0.295007365083296 × 6371000     		du = 2883.1030199603m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27088023)-sin(-1.27133310))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.29544004982785-0.295007365083296)×R²
    abs(-1.41279631--1.41433029)×0.000432684744554268×R²
    0.00153398000000005×0.000432684744554268×6371000²
    0.00153398000000005×0.000432684744554268×40589641000000     		ar = 8324529.50486165m²