Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1126 / 1179
↖ ↑ ↗
← S 26.273714°
E 17.929687°		 ← 17.527 km → S 26.273714°
E 18.105469°		 →
↑
17.515 km
↓
↑
17.515 km
↓
S 26.431228°
E 17.929687°		 ← 17.503 km →
306.767 km²		 S 26.431228°
E 18.105469°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1126 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1179 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.550048828125 y=0.575927734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.550048828125 × 211)
    floor (0.550048828125 × 2048)
    floor (1126.5)     		tx = 1126
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.575927734375 × 211)
    floor (0.575927734375 × 2048)
    floor (1179.5)     		ty = 1179
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1126 / 1179 ti = "11/1126/1179"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1126/1179.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1126 ÷ 211
    1126 ÷ 2048     		x = 0.5498046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1179 ÷ 211
    1179 ÷ 2048     		y = 0.57568359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5498046875 × 2 - 1) × π
    0.099609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.31293208
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.57568359375 × 2 - 1) × π
    -0.1513671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.475534044230957
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.31293208} λ = 0.31293208}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.475534044230957))-π/2
    2×atan(0.621553031004329)-π/2
    2×0.556116755176891-π/2
    1.11223351035378-1.57079632675     		φ = -0.45856282
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.31293208} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 17.929687°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.45856282 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -26.273714°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1126 KachelY 1179 0.31293208 -0.45856282 17.929687 -26.273714
    Oben rechts KachelX + 1 1127 KachelY 1179 0.31600004 -0.45856282 18.105469 -26.273714
    Unten links KachelX 1126 KachelY + 1 1180 0.31293208 -0.46131196 17.929687 -26.431228
    Unten rechts KachelX + 1 1127 KachelY + 1 1180 0.31600004 -0.46131196 18.105469 -26.431228
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.45856282--0.46131196) × R
    0.00274914000000004 × 6371000     		dl = 17514.7709400002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.45856282--0.46131196) × R
    0.00274914000000004 × 6371000     		dr = 17514.7709400002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.31293208-0.31600004) × cos(-0.45856282) × R
    0.00306795999999998 × 0.896689605254309 × 6371000     		do = 17526.6709571516m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.31293208-0.31600004) × cos(-0.46131196) × R
    0.00306795999999998 × 0.895469284374037 × 6371000     		du = 17502.8185979792m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.45856282)-sin(-0.46131196))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.896689605254309-0.895469284374037)×R²
    abs(0.31600004-0.31293208)×0.00122032088027202×R²
    0.00306795999999998×0.00122032088027202×6371000²
    0.00306795999999998×0.00122032088027202×40589641000000     		ar = 306766936.057832m²