Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 11254 / 19479
↖ ↑ ↗
← S 32.166313°
W 56.359863°		 ← 1 034.13 m → S 32.166313°
W 56.348877°		 →
↑
1 034.08 m
↓
↑
1 034.08 m
↓
S 32.175613°
W 56.359863°		 ← 1 034.02 m →
1 069 311 m²		 S 32.175613°
W 56.348877°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11254 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19479 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.343460083007812 y=0.594467163085938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.343460083007812 × 215)
    floor (0.343460083007812 × 32768)
    floor (11254.5)     		tx = 11254
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.594467163085938 × 215)
    floor (0.594467163085938 × 32768)
    floor (19479.5)     		ty = 19479
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11254 / 19479 ti = "15/11254/19479"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11254/19479.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11254 ÷ 215
    11254 ÷ 32768     		x = 0.34344482421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19479 ÷ 215
    19479 ÷ 32768     		y = 0.594451904296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.34344482421875 × 2 - 1) × π
    -0.3131103515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.98366518
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.594451904296875 × 2 - 1) × π
    -0.18890380859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.593458817296295
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.98366518} λ = -0.98366518}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.593458817296295))-π/2
    2×atan(0.552413279938875)-π/2
    2×0.504694128741631-π/2
    1.00938825748326-1.57079632675     		φ = -0.56140807
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.98366518} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.359863°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.56140807 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.166313°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11254 KachelY 19479 -0.98366518 -0.56140807 -56.359863 -32.166313
    Oben rechts KachelX + 1 11255 KachelY 19479 -0.98347343 -0.56140807 -56.348877 -32.166313
    Unten links KachelX 11254 KachelY + 1 19480 -0.98366518 -0.56157038 -56.359863 -32.175613
    Unten rechts KachelX + 1 11255 KachelY + 1 19480 -0.98347343 -0.56157038 -56.348877 -32.175613
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.56140807--0.56157038) × R
    0.000162309999999999 × 6371000     		dl = 1034.07700999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.56140807--0.56157038) × R
    0.000162309999999999 × 6371000     		dr = 1034.07700999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.98366518--0.98347343) × cos(-0.56140807) × R
    0.000191750000000046 × 0.846506324001117 × 6371000     		do = 1034.12535077323m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.98366518--0.98347343) × cos(-0.56157038) × R
    0.000191750000000046 × 0.846419902469899 × 6371000     		du = 1034.01977483865m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.56140807)-sin(-0.56157038))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.846506324001117-0.846419902469899)×R²
    abs(-0.98347343--0.98366518)×8.64215312179617e-05×R²
    0.000191750000000046×8.64215312179617e-05×6371000²
    0.000191750000000046×8.64215312179617e-05×40589641000000     		ar = 1069310.66621668m²