Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 11254 / 19470
↖ ↑ ↗
← S 32.082575°
W 56.359863°		 ← 1 035.07 m → S 32.082575°
W 56.348877°		 →
↑
1 034.97 m
↓
↑
1 034.97 m
↓
S 32.091882°
W 56.359863°		 ← 1 034.97 m →
1 071 216 m²		 S 32.091882°
W 56.348877°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11254 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19470 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.343460083007812 y=0.594192504882812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.343460083007812 × 215)
    floor (0.343460083007812 × 32768)
    floor (11254.5)     		tx = 11254
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.594192504882812 × 215)
    floor (0.594192504882812 × 32768)
    floor (19470.5)     		ty = 19470
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11254 / 19470 ti = "15/11254/19470"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11254/19470.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11254 ÷ 215
    11254 ÷ 32768     		x = 0.34344482421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19470 ÷ 215
    19470 ÷ 32768     		y = 0.59417724609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.34344482421875 × 2 - 1) × π
    -0.3131103515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.98366518
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.59417724609375 × 2 - 1) × π
    -0.1883544921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.591733088909973
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.98366518} λ = -0.98366518}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.591733088909973))-π/2
    2×atan(0.553367418272053)-π/2
    2×0.505424884114291-π/2
    1.01084976822858-1.57079632675     		φ = -0.55994656
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.98366518} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.359863°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.55994656 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.082575°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11254 KachelY 19470 -0.98366518 -0.55994656 -56.359863 -32.082575
    Oben rechts KachelX + 1 11255 KachelY 19470 -0.98347343 -0.55994656 -56.348877 -32.082575
    Unten links KachelX 11254 KachelY + 1 19471 -0.98366518 -0.56010901 -56.359863 -32.091882
    Unten rechts KachelX + 1 11255 KachelY + 1 19471 -0.98347343 -0.56010901 -56.348877 -32.091882
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.55994656--0.56010901) × R
    0.000162450000000036 × 6371000     		dl = 1034.96895000023m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.55994656--0.56010901) × R
    0.000162450000000036 × 6371000     		dr = 1034.96895000023m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.98366518--0.98347343) × cos(-0.55994656) × R
    0.000191750000000046 × 0.84728349639401 × 6371000     		do = 1035.0747750724m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.98366518--0.98347343) × cos(-0.56010901) × R
    0.000191750000000046 × 0.847197201372053 × 6371000     		du = 1034.9693536865m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.55994656)-sin(-0.56010901))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.84728349639401-0.847197201372053)×R²
    abs(-0.98347343--0.98366518)×8.62950219567837e-05×R²
    0.000191750000000046×8.62950219567837e-05×6371000²
    0.000191750000000046×8.62950219567837e-05×40589641000000     		ar = 1071215.70155404m²