Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 11253 / 19541
↖ ↑ ↗
← S 32.741082°
W 56.370850°		 ← 1 027.55 m → S 32.741082°
W 56.359863°		 →
↑
1 027.45 m
↓
↑
1 027.45 m
↓
S 32.750323°
W 56.370850°		 ← 1 027.44 m →
1 055 702 m²		 S 32.750323°
W 56.359863°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11253 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19541 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.343429565429688 y=0.596359252929688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.343429565429688 × 215)
    floor (0.343429565429688 × 32768)
    floor (11253.5)     		tx = 11253
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.596359252929688 × 215)
    floor (0.596359252929688 × 32768)
    floor (19541.5)     		ty = 19541
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11253 / 19541 ti = "15/11253/19541"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11253/19541.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11253 ÷ 215
    11253 ÷ 32768     		x = 0.343414306640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19541 ÷ 215
    19541 ÷ 32768     		y = 0.596343994140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.343414306640625 × 2 - 1) × π
    -0.31317138671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.98385693
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.596343994140625 × 2 - 1) × π
    -0.19268798828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.605347168402069
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.98385693} λ = -0.98385693}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.605347168402069))-π/2
    2×atan(0.54588487975785)-π/2
    2×0.49967832060177-π/2
    0.999356641203541-1.57079632675     		φ = -0.57143969
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.98385693} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.370850°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.57143969 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.741082°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11253 KachelY 19541 -0.98385693 -0.57143969 -56.370850 -32.741082
    Oben rechts KachelX + 1 11254 KachelY 19541 -0.98366518 -0.57143969 -56.359863 -32.741082
    Unten links KachelX 11253 KachelY + 1 19542 -0.98385693 -0.57160096 -56.370850 -32.750323
    Unten rechts KachelX + 1 11254 KachelY + 1 19542 -0.98366518 -0.57160096 -56.359863 -32.750323
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.57143969--0.57160096) × R
    0.000161270000000102 × 6371000     		dl = 1027.45117000065m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.57143969--0.57160096) × R
    0.000161270000000102 × 6371000     		dr = 1027.45117000065m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.98385693--0.98366518) × cos(-0.57143969) × R
    0.000191749999999935 × 0.841123200059413 × 6371000     		do = 1027.54911527783m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.98385693--0.98366518) × cos(-0.57160096) × R
    0.000191749999999935 × 0.841035967280014 × 6371000     		du = 1027.44254829063m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.57143969)-sin(-0.57160096))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.841123200059413-0.841035967280014)×R²
    abs(-0.98366518--0.98385693)×8.72327793984828e-05×R²
    0.000191749999999935×8.72327793984828e-05×6371000²
    0.000191749999999935×8.72327793984828e-05×40589641000000     		ar = 1055701.79682562m²