Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 11252 / 19499
↖ ↑ ↗
← S 32.352123°
W 56.381836°		 ← 1 032.01 m → S 32.352123°
W 56.370850°		 →
↑
1 031.97 m
↓
↑
1 031.97 m
↓
S 32.361403°
W 56.381836°		 ← 1 031.90 m →
1 064 954 m²		 S 32.361403°
W 56.370850°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11252 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19499 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.343399047851562 y=0.595077514648438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.343399047851562 × 215)
    floor (0.343399047851562 × 32768)
    floor (11252.5)     		tx = 11252
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.595077514648438 × 215)
    floor (0.595077514648438 × 32768)
    floor (19499.5)     		ty = 19499
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11252 / 19499 ti = "15/11252/19499"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11252/19499.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11252 ÷ 215
    11252 ÷ 32768     		x = 0.3433837890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19499 ÷ 215
    19499 ÷ 32768     		y = 0.595062255859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3433837890625 × 2 - 1) × π
    -0.313232421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.98404868
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.595062255859375 × 2 - 1) × π
    -0.19012451171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.5972937692659
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.98404868} λ = -0.98404868}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.5972937692659))-π/2
    2×atan(0.550298858486667)-π/2
    2×0.503072631865294-π/2
    1.00614526373059-1.57079632675     		φ = -0.56465106
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.98404868} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.381836°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.56465106 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.352123°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11252 KachelY 19499 -0.98404868 -0.56465106 -56.381836 -32.352123
    Oben rechts KachelX + 1 11253 KachelY 19499 -0.98385693 -0.56465106 -56.370850 -32.352123
    Unten links KachelX 11252 KachelY + 1 19500 -0.98404868 -0.56481304 -56.381836 -32.361403
    Unten rechts KachelX + 1 11253 KachelY + 1 19500 -0.98385693 -0.56481304 -56.370850 -32.361403
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.56465106--0.56481304) × R
    0.000161980000000006 × 6371000     		dl = 1031.97458000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.56465106--0.56481304) × R
    0.000161980000000006 × 6371000     		dr = 1031.97458000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.98404868--0.98385693) × cos(-0.56465106) × R
    0.000191750000000046 × 0.844775376996218 × 6371000     		do = 1032.01075797237m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.98404868--0.98385693) × cos(-0.56481304) × R
    0.000191750000000046 × 0.844688687002839 × 6371000     		du = 1031.90485407388m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.56465106)-sin(-0.56481304))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.844775376996218-0.844688687002839)×R²
    abs(-0.98385693--0.98404868)×8.66899933784637e-05×R²
    0.000191750000000046×8.66899933784637e-05×6371000²
    0.000191750000000046×8.66899933784637e-05×40589641000000     		ar = 1064954.22577743m²