Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 11250 / 19560
↖ ↑ ↗
← S 32.916485°
W 56.403809°		 ← 1 025.52 m → S 32.916485°
W 56.392822°		 →
↑
1 025.41 m
↓
↑
1 025.41 m
↓
S 32.925707°
W 56.403809°		 ← 1 025.41 m →
1 051 528 m²		 S 32.925707°
W 56.392822°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11250 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19560 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.343338012695312 y=0.596939086914062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.343338012695312 × 215)
    floor (0.343338012695312 × 32768)
    floor (11250.5)     		tx = 11250
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.596939086914062 × 215)
    floor (0.596939086914062 × 32768)
    floor (19560.5)     		ty = 19560
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11250 / 19560 ti = "15/11250/19560"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11250/19560.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11250 ÷ 215
    11250 ÷ 32768     		x = 0.34332275390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19560 ÷ 215
    19560 ÷ 32768     		y = 0.596923828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.34332275390625 × 2 - 1) × π
    -0.3133544921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.98443217
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.596923828125 × 2 - 1) × π
    -0.19384765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.608990372773193
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.98443217} λ = -0.98443217}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.608990372773193))-π/2
    2×atan(0.543899727930426)-π/2
    2×0.498147639657202-π/2
    0.996295279314403-1.57079632675     		φ = -0.57450105
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.98443217} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.403809°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.57450105 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.916485°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11250 KachelY 19560 -0.98443217 -0.57450105 -56.403809 -32.916485
    Oben rechts KachelX + 1 11251 KachelY 19560 -0.98424042 -0.57450105 -56.392822 -32.916485
    Unten links KachelX 11250 KachelY + 1 19561 -0.98443217 -0.57466200 -56.403809 -32.925707
    Unten rechts KachelX + 1 11251 KachelY + 1 19561 -0.98424042 -0.57466200 -56.392822 -32.925707
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.57450105--0.57466200) × R
    0.000160950000000049 × 6371000     		dl = 1025.41245000031m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.57450105--0.57466200) × R
    0.000160950000000049 × 6371000     		dr = 1025.41245000031m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.98443217--0.98424042) × cos(-0.57450105) × R
    0.000191750000000046 × 0.839463544319285 × 6371000     		do = 1025.5216146848m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.98443217--0.98424042) × cos(-0.57466200) × R
    0.000191750000000046 × 0.839376070640063 × 6371000     		du = 1025.41475340492m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.57450105)-sin(-0.57466200))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.839463544319285-0.839376070640063)×R²
    abs(-0.98424042--0.98443217)×8.74736792217945e-05×R²
    0.000191750000000046×8.74736792217945e-05×6371000²
    0.000191750000000046×8.74736792217945e-05×40589641000000     		ar = 1051527.84526894m²