Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1125 / 3276
↖ ↑ ↗
← S 72.711903°
W 81.123047°		 ← 2 904.30 m → S 72.711903°
W 81.035156°		 →
↑
2 902.18 m
↓
↑
2 902.18 m
↓
S 72.738003°
W 81.123047°		 ← 2 900.05 m →
8 422 644 m²		 S 72.738003°
W 81.035156°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1125 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3276 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.2747802734375 y=0.7999267578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.2747802734375 × 212)
    floor (0.2747802734375 × 4096)
    floor (1125.5)     		tx = 1125
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7999267578125 × 212)
    floor (0.7999267578125 × 4096)
    floor (3276.5)     		ty = 3276
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1125 / 3276 ti = "12/1125/3276"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1125/3276.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1125 ÷ 212
    1125 ÷ 4096     		x = 0.274658203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3276 ÷ 212
    3276 ÷ 4096     		y = 0.7998046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.274658203125 × 2 - 1) × π
    -0.45068359375 × 3.1415926535     		Λ = -1.41586427
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7998046875 × 2 - 1) × π
    -0.599609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.88372840746973
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41586427} λ = -1.41586427}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.88372840746973))-π/2
    2×atan(0.152022246929139)-π/2
    2×0.15086710609228-π/2
    0.30173421218456-1.57079632675     		φ = -1.26906211
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41586427} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.123047°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26906211 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.711903°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1125 KachelY 3276 -1.41586427 -1.26906211 -81.123047 -72.711903
    Oben rechts KachelX + 1 1126 KachelY 3276 -1.41433029 -1.26906211 -81.035156 -72.711903
    Unten links KachelX 1125 KachelY + 1 3277 -1.41586427 -1.26951764 -81.123047 -72.738003
    Unten rechts KachelX + 1 1126 KachelY + 1 3277 -1.41433029 -1.26951764 -81.035156 -72.738003
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26906211--1.26951764) × R
    0.000455529999999982 × 6371000     		dl = 2902.18162999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26906211--1.26951764) × R
    0.000455529999999982 × 6371000     		dr = 2902.18162999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41586427--1.41433029) × cos(-1.26906211) × R
    0.00153397999999982 × 0.29717652202554 × 6371000     		do = 2904.30216164634m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41586427--1.41433029) × cos(-1.26951764) × R
    0.00153397999999982 × 0.296741540888145 × 6371000     		du = 2900.05109682803m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26906211)-sin(-1.26951764))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.29717652202554-0.296741540888145)×R²
    abs(-1.41433029--1.41586427)×0.000434981137394708×R²
    0.00153397999999982×0.000434981137394708×6371000²
    0.00153397999999982×0.000434981137394708×40589641000000     		ar = 8422643.84603336m²