Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1125 / 3261
↖ ↑ ↗
← S 72.315785°
W 81.123047°		 ← 2 968.75 m → S 72.315785°
W 81.035156°		 →
↑
2 966.59 m
↓
↑
2 966.59 m
↓
S 72.342464°
W 81.123047°		 ← 2 964.41 m →
8 800 628 m²		 S 72.342464°
W 81.035156°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1125 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3261 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.2747802734375 y=0.7962646484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.2747802734375 × 212)
    floor (0.2747802734375 × 4096)
    floor (1125.5)     		tx = 1125
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7962646484375 × 212)
    floor (0.7962646484375 × 4096)
    floor (3261.5)     		ty = 3261
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1125 / 3261 ti = "12/1125/3261"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1125/3261.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1125 ÷ 212
    1125 ÷ 4096     		x = 0.274658203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3261 ÷ 212
    3261 ÷ 4096     		y = 0.796142578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.274658203125 × 2 - 1) × π
    -0.45068359375 × 3.1415926535     		Λ = -1.41586427
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.796142578125 × 2 - 1) × π
    -0.59228515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.8607186956521
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41586427} λ = -1.41586427}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.8607186956521))-π/2
    2×atan(0.155560789320052)-π/2
    2×0.154323886034451-π/2
    0.308647772068903-1.57079632675     		φ = -1.26214855
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41586427} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.123047°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26214855 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.315785°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1125 KachelY 3261 -1.41586427 -1.26214855 -81.123047 -72.315785
    Oben rechts KachelX + 1 1126 KachelY 3261 -1.41433029 -1.26214855 -81.035156 -72.315785
    Unten links KachelX 1125 KachelY + 1 3262 -1.41586427 -1.26261419 -81.123047 -72.342464
    Unten rechts KachelX + 1 1126 KachelY + 1 3262 -1.41433029 -1.26261419 -81.035156 -72.342464
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26214855--1.26261419) × R
    0.000465640000000045 × 6371000     		dl = 2966.59244000029m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26214855--1.26261419) × R
    0.000465640000000045 × 6371000     		dr = 2966.59244000029m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41586427--1.41433029) × cos(-1.26214855) × R
    0.00153397999999982 × 0.303770590382719 × 6371000     		do = 2968.74590320865m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41586427--1.41433029) × cos(-1.26261419) × R
    0.00153397999999982 × 0.303326921188956 × 6371000     		du = 2964.40993013205m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26214855)-sin(-1.26261419))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.303770590382719-0.303326921188956)×R²
    abs(-1.41433029--1.41586427)×0.000443669193762763×R²
    0.00153397999999982×0.000443669193762763×6371000²
    0.00153397999999982×0.000443669193762763×40589641000000     		ar = 8800627.77927796m²