Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1125 / 1180
↖ ↑ ↗
← S 26.431228°
E 17.753906°		 ← 17.503 km → S 26.431228°
E 17.929687°		 →
↑
17.491 km
↓
↑
17.491 km
↓
S 26.588527°
E 17.753906°		 ← 17.479 km →
305.929 km²		 S 26.588527°
E 17.929687°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1125 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1180 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.549560546875 y=0.576416015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.549560546875 × 211)
    floor (0.549560546875 × 2048)
    floor (1125.5)     		tx = 1125
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.576416015625 × 211)
    floor (0.576416015625 × 2048)
    floor (1180.5)     		ty = 1180
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1125 / 1180 ti = "11/1125/1180"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1125/1180.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1125 ÷ 211
    1125 ÷ 2048     		x = 0.54931640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1180 ÷ 211
    1180 ÷ 2048     		y = 0.576171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.54931640625 × 2 - 1) × π
    0.0986328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.30986412
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.576171875 × 2 - 1) × π
    -0.15234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.478602005806641
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.30986412} λ = 0.30986412}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.478602005806641))-π/2
    2×atan(0.619649052348052)-π/2
    2×0.55474218586799-π/2
    1.10948437173598-1.57079632675     		φ = -0.46131196
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.30986412} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 17.753906°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.46131196 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -26.431228°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1125 KachelY 1180 0.30986412 -0.46131196 17.753906 -26.431228
    Oben rechts KachelX + 1 1126 KachelY 1180 0.31293208 -0.46131196 17.929687 -26.431228
    Unten links KachelX 1125 KachelY + 1 1181 0.30986412 -0.46405734 17.753906 -26.588527
    Unten rechts KachelX + 1 1126 KachelY + 1 1181 0.31293208 -0.46405734 17.929687 -26.588527
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.46131196--0.46405734) × R
    0.00274537999999996 × 6371000     		dl = 17490.8159799998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.46131196--0.46405734) × R
    0.00274537999999996 × 6371000     		dr = 17490.8159799998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.30986412-0.31293208) × cos(-0.46131196) × R
    0.00306795999999998 × 0.895469284374037 × 6371000     		do = 17502.8185979792m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.30986412-0.31293208) × cos(-0.46405734) × R
    0.00306795999999998 × 0.894243878653715 × 6371000     		du = 17478.8668506597m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.46131196)-sin(-0.46405734))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.895469284374037-0.894243878653715)×R²
    abs(0.31293208-0.30986412)×0.00122540572032193×R²
    0.00306795999999998×0.00122540572032193×6371000²
    0.00306795999999998×0.00122540572032193×40589641000000     		ar = 305929303.578145m²