Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 11248 / 19559
↖ ↑ ↗
← S 32.907262°
W 56.425781°		 ← 1 025.63 m → S 32.907262°
W 56.414795°		 →
↑
1 025.60 m
↓
↑
1 025.60 m
↓
S 32.916485°
W 56.425781°		 ← 1 025.52 m →
1 051 833 m²		 S 32.916485°
W 56.414795°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11248 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19559 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.343276977539062 y=0.596908569335938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.343276977539062 × 215)
    floor (0.343276977539062 × 32768)
    floor (11248.5)     		tx = 11248
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.596908569335938 × 215)
    floor (0.596908569335938 × 32768)
    floor (19559.5)     		ty = 19559
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11248 / 19559 ti = "15/11248/19559"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11248/19559.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11248 ÷ 215
    11248 ÷ 32768     		x = 0.34326171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19559 ÷ 215
    19559 ÷ 32768     		y = 0.596893310546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.34326171875 × 2 - 1) × π
    -0.3134765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.98481567
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.596893310546875 × 2 - 1) × π
    -0.19378662109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.608798625174713
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.98481567} λ = -0.98481567}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.608798625174713))-π/2
    2×atan(0.544004029396529)-π/2
    2×0.498228126409538-π/2
    0.996456252819076-1.57079632675     		φ = -0.57434007
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.98481567} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.425781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.57434007 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.907262°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11248 KachelY 19559 -0.98481567 -0.57434007 -56.425781 -32.907262
    Oben rechts KachelX + 1 11249 KachelY 19559 -0.98462392 -0.57434007 -56.414795 -32.907262
    Unten links KachelX 11248 KachelY + 1 19560 -0.98481567 -0.57450105 -56.425781 -32.916485
    Unten rechts KachelX + 1 11249 KachelY + 1 19560 -0.98462392 -0.57450105 -56.414795 -32.916485
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.57434007--0.57450105) × R
    0.000160979999999977 × 6371000     		dl = 1025.60357999986m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.57434007--0.57450105) × R
    0.000160979999999977 × 6371000     		dr = 1025.60357999986m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.98481567--0.98462392) × cos(-0.57434007) × R
    0.000191750000000046 × 0.839551012550712 × 6371000     		do = 1025.62846930944m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.98481567--0.98462392) × cos(-0.57450105) × R
    0.000191750000000046 × 0.839463544319285 × 6371000     		du = 1025.5216146848m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.57434007)-sin(-0.57450105))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.839551012550712-0.839463544319285)×R²
    abs(-0.98462392--0.98481567)×8.74682314269126e-05×R²
    0.000191750000000046×8.74682314269126e-05×6371000²
    0.000191750000000046×8.74682314269126e-05×40589641000000     		ar = 1051833.43690164m²