Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 11247 / 19536
↖ ↑ ↗
← S 32.694866°
W 56.436767°		 ← 1 028.03 m → S 32.694866°
W 56.425781°		 →
↑
1 028.02 m
↓
↑
1 028.02 m
↓
S 32.704111°
W 56.436767°		 ← 1 027.92 m →
1 056 783 m²		 S 32.704111°
W 56.425781°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11247 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19536 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.343246459960938 y=0.596206665039062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.343246459960938 × 215)
    floor (0.343246459960938 × 32768)
    floor (11247.5)     		tx = 11247
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.596206665039062 × 215)
    floor (0.596206665039062 × 32768)
    floor (19536.5)     		ty = 19536
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11247 / 19536 ti = "15/11247/19536"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11247/19536.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11247 ÷ 215
    11247 ÷ 32768     		x = 0.343231201171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19536 ÷ 215
    19536 ÷ 32768     		y = 0.59619140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.343231201171875 × 2 - 1) × π
    -0.31353759765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.98500741
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.59619140625 × 2 - 1) × π
    -0.1923828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.604388430409668
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.98500741} λ = -0.98500741}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.604388430409668))-π/2
    2×atan(0.54640849129458)-π/2
    2×0.500081633498619-π/2
    1.00016326699724-1.57079632675     		φ = -0.57063306
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.98500741} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.436767°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.57063306 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.694866°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11247 KachelY 19536 -0.98500741 -0.57063306 -56.436767 -32.694866
    Oben rechts KachelX + 1 11248 KachelY 19536 -0.98481567 -0.57063306 -56.425781 -32.694866
    Unten links KachelX 11247 KachelY + 1 19537 -0.98500741 -0.57079442 -56.436767 -32.704111
    Unten rechts KachelX + 1 11248 KachelY + 1 19537 -0.98481567 -0.57079442 -56.425781 -32.704111
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.57063306--0.57079442) × R
    0.000161359999999999 × 6371000     		dl = 1028.02456m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.57063306--0.57079442) × R
    0.000161359999999999 × 6371000     		dr = 1028.02456m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.98500741--0.98481567) × cos(-0.57063306) × R
    0.000191739999999996 × 0.841559187018114 × 6371000     		do = 1028.02811832359m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.98500741--0.98481567) × cos(-0.57079442) × R
    0.000191739999999996 × 0.841472015052046 × 6371000     		du = 1027.92163118207m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.57063306)-sin(-0.57079442))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.841559187018114-0.841472015052046)×R²
    abs(-0.98481567--0.98500741)×8.71719660680004e-05×R²
    0.000191739999999996×8.71719660680004e-05×6371000²
    0.000191739999999996×8.71719660680004e-05×40589641000000     		ar = 1056783.42060125m²